1. Klausur Stochastik 1 SoSe15, Dr. Bayer Hinweis: Es gab für die vorliegende Klausur eine Version A und B, die sich nur durch die Reihenfolge der Aufgaben unterschieden haben. Die Klausur wurde aus dem Gedächtnis aufgeschrieben und noch einmal korrigiert nach der Einsicht in die Klausur. Fehler sind daher möglich. Prüfung zur Vorlesung Stochastik I Zugelassene Hilfsmittel: keine Bearbeitungszeit 120 Minuten Die Lösungen sind zu begründen und müssen verständlich, lesbar und gut nachvollziehbar sein! Aufgabe 1 Die Lebenszeit eines Gerätes (in Jahren) sei exponentialverteilt zum Parameter λ = 0.02. (a) Nach welcher Zeitspanne sind noch 25% aller Geräte, die zum Zeitpunkt t = 0 produziert wurden, noch funktionstüchtig? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lebt das Gerät länger als 50 Jahre? (c) Das Gerät ist 30 Jahre alt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit lebt es noch weitere 50 Jahre? (d) Sie kaufen gleichzeitig zwei Geräte mit der angegebenen Lebensdauerverteilung, die unabhängig voneinander kaputt gehen. Wie ist die gemeinsame Lebensdauer, d.h. die Zeit, bis das erste Gerät kaputt geht, verteilt. (e) Sie kaufen ein zweites Gerät, sobald das erste kaputt gegangen ist. Die Lebensdauer beider Geräte sei unabhängig und identisch wie angegeben verteilt. Berechnen Sie die Dichte der Gesamtdauer, d.h. die Zeit vom Kauf des ersten Gerätes bis zum Kaputtgehen des zweiten Gerätes. Aufgabe 2 Sei die Funktion f : R → R gegeben durch f (x) = c · x(x − 2) 0 , 0≤x≤2 , sonst Bestimmen sie c ∈ R so, dass f die Dichtefunktion einer Zufallsvariable X ist. Berechnen sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Geben sie zudem unter Verwendung der Tschebyschow’schen Ungleichung eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass X Werte zwischen 12 und 32 annimmt. S. 1 von 2 1. Klausur Stochastik 1 SoSe15, Dr. Bayer Aufgabe 3 Sind folgende einzelne Aussagen wahr oder falsch? Beweisen Sie die richtigen Aussagen. Bei falschen Aussagen geben Sie eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an. Verweisen Sie dafür ggfs. auf Sätze der Vorlesung. (a) Seien P1 , P2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem messbaren Raum (Ω, F). Gilt P1 (A) ≤ P2 (A) für alle A ∈ F, dann ist P1 (A) = P2 (A). (b) Sei Xn mit n ∈ N eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ), mit 0 < E[X 2 ] < ∞ und E[X] = 0. P Dann konvergiert die Folge √1n ni=1 Xi in Verteilung gegen eine Zufallsvariable X ∼ N (0, E[X 2 ]). (c) Seien X1 , . . . , Xn unabhängige und standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Dann ist auch die Zufallsvariable 1 Sn = √ (X1 + · · · + Xn ) standardnormalverteilt. n (d) Drei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn sie paarweise unabhängig sind. (e) Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R, B(R)). Dann ist die zugehörige Verteilungsfunktion stets differenzierbar. Aufgabe 4 1. Sei (Xn )n∈N eine Folge von normalverteilten Zufallvariablen auf (R, B(R)) mit E[X 2 ] < +∞. Dann folgt aus E[(Xn − X)2 ] → 0, dass X auch normalverteilt. ist. p Hinweis: − X)2 ] → 0 ⇒ Xn −→ X i.W. und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung E[|Y · q E[(Xnq Z|] ≤ E[Y 2 ] · E[Z 2 ] dürfen ohne Beweis benutzt werden. 2. Lemma von Borel-Cantelli: Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Ai ∈ F, i ∈ N. Dann gilt: ∞ X P (An ) < ∞ impliziert P lim sup An = 0 i=1 n→∞ Aufgabe 5 Geben Sie die Sätze und Definitionen in der Formulierng der Vorlesung oder einer inhaltlich äquivalenten Formulierung an. 1. Geben Sie die Markow-Ungleichung an. 2. Formulieren Sie den Satz von Slutzky. 3. Formulieren Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen und geben Sie eine hinreichende Bedingung an, für die dieses Gesetz gilt. 4. Geben Sie die Wald’sche Gleichheit an. S. 2 von 2
