Blatt5 - Universität Ulm

Universität Ulm
Abteilung Stochastik
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 5
18.11.1997
A. Frey
J. Wiedmann
Abgabe: 25.11.97
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Aufgabe 1:
In einer Spielshow ist zum Schluß nur noch ein Kandidat X übrig, der eine von drei
geschlossenen Türen auswählen soll. Hinter einer Tür wartet als Preis ein Auto, hinter den
anderen steckt der “Zonk” (Niete). Der Kandidat zeigt auf eine Tür, sagen wir Nummer 1. Sie
bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator, der weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet,
öffnet eine andere Tür, z.B. Nummer 3 und dahinter verbirgt sich der “Zonk”. Der Kandidat
erhält nun die Möglichkeit, bei der bisher gewählten Tür Nr. 1 zu bleiben oder zu Tür 2 zu
wechseln. Wie soll er sich entscheiden? Anders: Gibt es jetzt aus stochastischer Sicht berechtigte
Gründe, bei der gewählten Tür zu bleiben bzw. die Tür zu wechseln, oder sind die
Wahrscheinlichkeiten, den Preis hinter Tür eins bzw. Tür zwei zu finden, nach wie vor identisch
(Begründung!)
(6)
Aufgabe 2:
Ein Computerdiscount wird von 3 Herstellern (1, 2 und 3) mit insgesamt 1000 Festplatten
beliefert, wobei der Anteil der Hersteller in dieser Reihenfolge 20, 30 und 50% beträgt. In diesen
unterschiedlichen Anteilen gibt es jeweils 4, 3 bzw. 20 Festplatten, die Defekte aufweisen.
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zufällig entnommene Festplatte in
Ordnung ist ?
ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine defekte Festplatte vom Hersteller i
geliefert worden ist (i = 1, 2, 3 ) ?
(6)
Aufgabe 3:
Sei k  fest. Gegeben sind n+1 Urnen U 0 , U 1 ,..,U n wobei Urne U 
v k schwarze und
nk  v k
weiße Kugeln enthält. Man wählt zufällig eine Urne und aus dieser rein zufällig eine Kugel. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit pnk eine schwarze Kugel zu ziehen ?. Wie verhält sich pnk für
große n ?
(8)
n k 1
(Hinweis: Es gilt   
für n   )
k 1
0
n
k
Aufgabe 4:
Man werfe einen Würfel solange bis eine 6 fällt. Falls dies genau nach dem r-ten Versuch eintritt
und r <10 ist, so gewinnt man 2r DM. Hat man nach 9 Würfen noch keine 6, so muß man
210 DM an die Bank bezahlen.
i) Welche Zufallsvariable beschreibt den Gewinn und wie sieht die zugehörige
Verteilungs-funktion aus
r
ii) Falls der Spieler gewinnt, muß er r 2 DM Steuern bezahlen. Wie sieht die Zufallsvariable
100
aus, die die Einnahmen des Finanzamtes beschreibt ? Geben Sie auch hier die zugehörige
Verteilung an.
(8)