Übungen zur Klausur Nr. 2
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Übungen zur Klausur Nr. 2 Stochastik 1. 13 BG 2011 Name: In einer Klasse mit 30 Schülern wurden zwei Klassenarbeiten mit folgenden Ergebnissen geschrieben: 10 I) Note Anzahl 1 3 2 7 3 4 5 11 6 2 II) Note Anzahl 6 1 1 5 2 8 3 5 4 5 8 2 6 2 Bestimmen Sie jeweils den Notendurchschnitt und die Standardabweichung. Interpretieren Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang. 2. Bei einer Quizshow werden 4 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten gestellt. Nur eine Antwort ist jeweils richtig. 08 Betrachten Sie die Zufallsvariable X: „Anzahl korrekt beantworteter Fragen“. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X (für einen ahnungslosen Kandidaten). Stellen Sie die Ergebnisse zudem in einem Säulendiagramm dar. 3. Die In einem Land gilt laut Statistik für die Verteilung der Haushalte und Haushaltsgrößen folgendes: 14 Anzahl der Personen pro Haushalt 1 2 3 4 5 Anteil der Haushalte in % 10 40 25 15 10 a) Fünf Haushalte werden zufällig ausgewählt. (5) i) Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung 5 2 3 hat: 0,25 0,75 = 0,2637 2 ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den fünf zufällig ausgewählten Haushalten mindestens einer ein 2-Personen-Haushalt ist b) Für eine Befragung durch ein Marktforschungsinstitut werden 100 Haushalte zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass: (5) - mehr als 40 - mindestens 35 aber höchstens 55 2-Personen-Haushalte ausgewählt werden. c) Bei einer Berechnung zu obiger Tabelle verwendete man den Ansatz P(X 1) > 0,95. Im Laufe des Rechengangs erhielt man 1 – 0,85n > 0,95 und als Lösung n > 18,43. Erläutern Sie im Sachzusammenhang, was hier berechnet wurde. (4) Viel Erfolg !!!!! Übungen zur Klausur Nr. 2 Stochastik 4. 13 BG 2011 Name: Ein Glücksrad hat drei gleich große 120 Grad Sektoren, von denen zwei die Ziffer 1 und ein Sektor die Ziffer 2 tragen. 12 a) Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Stellen Sie dieses Zufallsexperiment zunächst durch einen Wahrscheinlichkeitsbaum dar. Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: „Die Ziffer 2 tritt mindestens zweimal auf“. B: „Die Summe der gedrehten Ziffern ist 4“. C: „Alle gedrehten Ziffern sind gleich“. (6) b) Das Glücksrad wird 60-mal gedreht. Wie viele Einsen sind im Mittel zu erwarten? Begründen Sie Ihre Vorgehensweise! (2) c) Die Ziffer 2 soll mit einer Wahrscheinlichkeit von nicht weniger als 95% mindestens einmal erscheinen. Berechnen Sie, wie oft das Rad gedreht werden müsste. (4) 5. Bei der Produktion von Stiften weisen 15 % falsche Länge (A), 10 % falsche Dicke (B) und 4 % beide Fehler auf. 08 a) Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel. B (3) B 0,15 A A 0,1 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig herausgegriffener Stift mindestens einen dieser Fehler? 6. (2) An einem Medikamententest beteiligten sich 125 Frauen und 375 Männer. Bei 24 Personen 6 Frauen und 18 Männern - traten leichte Nebenwirkungen auf. (Tipp: Erstellen Sie jeweils eine Vierfeldertafel). 08 a) Ist die Verträglichkeit des Medikaments vom Geschlecht der Patienten abhängig? (4) b) 155 der 500 am Test teilnehmenden Patienten nahmen gleichzeitig ein zweites Medikament ein. Von diesen Patienten litten 15 an leichten Nebenwirkungen. Hängt die Viel Erfolg !!!!! Übungen zur Klausur Nr. 2 Stochastik 13 BG 2011 Name: Verträglichkeit des Medikaments von der Einnahme des zweiten Medikaments ab? (4) 7. Zwei Maschinen A und B produzieren Keilriemen von 450 mm Solllänge. Untersuchungen ergaben die in den Tabellen aufgelisteten Längenverteilungen. 14 Maschine A Maschine B xi (in mm) 440 445 450 455 460 P (X=xi) 0,025 0,200 0,550 0,200 0,025 xi (in mm) 440 445 450 455 460 P (X=xi) 0,025 0,225 0,500 0,225 0,025 a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte der Zufallsvariablen X = xi für beide Maschinen. (3) b) Beurteilen Sie mit Hilfe der Standardabweichung, welche der beiden Maschinen präziser arbeitet. (7) c) Erklären Sie die Bedeutung der Begriffe „Erwartungswert“, „Varianz“ und „Standardabweichung“ im gegebenen Sachzusammenhang. (4) 3. Aufgabe - Lösung a) (i) Folgende Kenngrößen liegen vor: n=5, k=2, p=0,25 und q=0,75. Bezogen auf die Aufgabenstellung bedeutet dies: die vorgegebene Rechnung ermittelt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich unter den fünf zufällig ausgewählten Haushalten genau zwei 3-Personen-Haushalte befinden. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 0,2637. a) (ii) Ansatz wiederum über Binomialverteilung mit den Kenngrößen n=5, k 1, p=0,4 und q=0,6 liefert unter der Verwendung des Gegenereignisses: P(X 1) = 1 - P(X = 0) 5 = 1 - 0, 40 0, 65 1 – 0,07776 0,9222. 0 b) Ansatz wiederum über Binomialverteilung mit n=100, k, p=0,4 und q=0,6. Der Prüfling muss erklären können, warum dieser Ansatz hier möglich ist! - P(X 41) = 1 - P(X 40) = 1 – F(100;0,4;40) = 1 – 0,5433 (Tabelle) = 0,4567. - P(35 X 55) = F(100;0,4;55) - F(100;0,4;34) = 0,9991 – 0,1303 (Tabelle) = 0,8688. c) Der Ausdruck P(X 1) steht für die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg; diese soll größer als 95% sein. Diese Aufgabentypen werden normalerweise mithilfe des Gegenereignisses berechnet. P(mindestens ein Erfolg) = 1 – P(kein Erfolg). Aus 1 – 0,85n wird ersichtlich, dass q=0,85 und somit p=0,15 (Erfolgswahrscheinlichkeit). D.h., man befindet sich im Bereich der 4-Personen-Haushalte. Berechnet wird die Anzahl der Haushalte, die man mindestens befragen muss, damit die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens ein 4Personen-Haushalt ist, größer als 95% beträgt. Die Lösung n > 18 bedeutet, dass man mindestens 19 Haushalte befragen muss. Viel Erfolg !!!!!
