Übungsblatt 3

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2007
Übungsblatt 3
Themen: Ergebnisse und Ereignisse, Kolmogorov-Axiome, Wahrscheinlichkeit in
endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen, insb. Laplace-Räumen
Abgabetermin: Mittwoch, 11. April, bzw. Freitag, 13. April, bei der Übungsleiterin oder beim
Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde.
Ergebnisse und Ereignisse
Aufgabe 25 (◦). Wir untersuchen alle Studierenden an der Uni Zürich und betrachten
die folgenden Ereignisse: A: «Die Person ist weiblich», B: «Die Person studiert Biologie»,
C: «Die Person wohnt in Zürich». Beschreiben Sie in Worten die Ereignisse a) A, b)
(A ∩ B) ∪ C, c) (B ∪ C) \ (B ∩ C) und d) (B \ C) ∪ (C \ B).
Was lässt sich zu c) und d) sagen?
Aufgabe 26 (7 Punkte). Eine Münze wird fünfmal geworfen. Das Resultat ist jeweils
Kopf (K) oder Zahl (Z).
a) Geben Sie den Ergebnisraum Ω an. b) Geben Sie die Ereignisse D: «Beim zweiten Wurf
erscheint Zahl», E: «Kopf erscheint genau dreimal» und F : «Kopf und Zahl wechseln sich
ab» an. c) Bestimmen Sie D ∩ E, D ∩ F und E ∩ F .
Hinweis. Sie brauchen unter a) nicht alle Elemente explizit anzugeben. Wird beispielsweise ein Würfel zweimal geworfen, so können sie den entsprechenden Ergebnisraum Ω
durch
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2
angeben, anstelle einer Aufzählung Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (6, 6)}.
Aufgabe 27 (4 Punkte). Die natürlichen Zahlen von 1 bis 25 werden auf je ein Kärtchen
geschrieben. Die Kärtchen werden in eine Schachtel gelegt. Das Zufallsereignis besteht
darin, ein Kärtchen zu ziehen und seine Nummer zu verkünden. Geben Sie den Ergebnisraum Ω an und beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von Ω. Es wird
gezogen: a) Eine durch 6 teilbare Zahl, b) eine Zahl, die bei der Division durch 4 den
Rest 3 gibt, c) eine Quadratzahl, d) eine Lösung der Gleichung x2 − 10x − 11 = 0.
Aufgabe 28 (4 Punkte). Zwei reelle Zahlen x und y mit 1 < x ≤ 2 und 1 < y ≤ 4
werden zufällig gewählt.
a) Stellen Sie die folgenden Ereignisse grafisch dar:
Ω,
G := (x, y) ∈ Ω : y ≤ x2 ,
H := (x, y) ∈ Ω : xy ≤ 2 .
b) Berechnen Sie die geometrisch interpretierte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses G∪H.
Version vom 7. April 2007, 19:40 Uhr
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Axiome von Kolmogorov
Aufgabe 29 (◦). Zeigen Sie, dass die folgende Formel gilt:
P[B \ A] = P[B ∩ A] = P[B] − P[B ∩ A] .
Zeichnen Sie eine Skizze und beachten Sie, dass B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A) gilt.
Geben Sie eine anschauliche Interpretation der Ereignisse B ∩ A und B ∩ A, wenn A die
Menge aller AargauerInnen und B die Menge aller GeographiestudentInnen ist.
Aufgabe 30 (3 Punkte). Für die drei Ereignisse A, B und C soll
A ∩ B = ∅,
A ∩ C 6= ∅,
B ∩ C 6= ∅
gelten. Zeichnen Sie ein dieser Situation entsprechendes Venn-Diagramm und lesen Sie
daraus die in diesem Fall gültige Formel für P[A ∪ B ∪ C] ab.
Hinweis. Es wird nicht verlangt, diese Formel für P[A ∪ B ∪ C] durch eine abstrakte
Rechnung aus den Axiomen herzuleiten.
Aufgabe 31 (4 Punkte). Von zwei Ereignissen E und F ist bekannt, dass P[E ∪F ] = 0.8
und P[E ∩ F ] = 0.4 ist. Ist es möglich, dass a) P[E] = P[F ], b) P[E] = 3P[F ] ist?
Wenn ja, bestimmen Sie P[E] und P[F ] und geben Sie ein konkretes Beispiel für E und
F in einem Ergebnisraum Ω an.
Hinweis. Es muss immer gelten, dass P[E ∩ F ] ≤ P[F ], da E ∩ F ⊆ F . Trifft dies bei a)
oder b) zu?
Wahrscheinlichkeit in endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen
Aufgabe 32 (3 Punkte). Ein Würfel ist verfälscht. Die Sechs und die Fünf sind gleich
wahrscheinlich, nämlich dreimal so wahrscheinlich wie die Drei. Die Vier ist doppelt so
wahrscheinlich wie die Drei und die Eins ist zweieinhalb mal so wahrscheinlich wie die
Drei. Die Zwei ist halb so wahrscheinlich wie die Drei. a) Bestimmen Sie die einzelnen
Wahrscheinlichkeiten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird b) eine ungerade Zahl, c) eine
Zahl grösser als 3 gewürfelt?
Aufgabe 33 (3 Punkte). Das Dodekaeder ist ein Polyeder, welches von 12 regulären
Fünfecken begrenzt wird. Bei einem dodekaederförmigen Spielwürfel sind die Seitenflächen wie folgt beschriftet: Viermal mit der Zahl 1, zweimal mit der Zahl 2, dreimal mit
der Zahl 4, einmal mit der Zahlen 7 und zweimal mit der Zahl 8. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) «ungerade Zahl», b) «Potenz von 2»,
c) «Zahl grösser als 5».
Aufgabe 34 (4 Punkte). Ein Glücksrad hat sechs Sektoren, welche mit den Zahlen 1, 2,
3, 4, 5 und 6 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit für den Sektor k + 1 soll um 1/24
grösser sein als jene für den Sektor k (k = 1, 2, 3, 4, 5).
Berechnen Sie die Öffnungswinkel der Sektoren.
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Aufgabe 35 (5 Punkte). Ein Glücksradkonstrukteur hat den Auftrag erhalten, ein
Glücksrad mit vier Sektoren und den folgenden Bildern zu bauen: Rote Kirsche, schwarze
Kirsche, rote Johannesbeere und schwarze Johannesbeere. Dies soll so geschehen, dass die
Wahrscheinlichkeit für «Kirsche» doppelt so gross ist wie jene für «Johannesbeere» und
die Wahrscheinlichkeit für «rote Frucht» halb so gross wie jene für «schwarze Frucht».
Ausserdem sollen die Wahrscheinlichkeiten für «rote Kirsche »und «rote Johannesbeere
»gleich sein. a) Ist dieser Auftrag erfüllbar. b) Wenn ja, bestimmen Sie die Öffnungswinkel
der Kreissegmente.
Wahrscheinlichkeit in Laplace-Räumen
Aufgabe 36 (◦). Unter den acht Mannschaften, die sich für die Viertelfinale des Fussballcups qualifiziert haben, sind fünf aus der Nationalliga A, die übrigen drei sind unterklassig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit spielen in den (zufällig ausgelosten) Viertelsfinals
a) zwei Unterklassige gegeneinander, b) dreimal A-Teams gegen Unterklassige?
Aufgabe 37 (4 Punkte). Ein Kartenspiel enthält, wie in der Schweiz üblich, 36 Karten,
worunter vier Asse sind. Es werden vier Karten gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: Unter den vier Karten ist a) genau ein Ass, b) mindestens ein Ass, c) das Rosen-Ass und mindestens ein weiteres Ass, d) das Rosen-Ass
und das Schellen-Ass.
Aufgabe 38 (3 Punkte). In einer Tüte sind 6 rote, 4 grüne und 2 gelbe Gummibärchen.
Ein Kind nimmt (ohne hinzusehen) zwei heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben
die beiden dieselbe Farbe?
Aufgabe 39 (3 Punkte). In einem Büchergestell stehen neun Bücher, darunter die drei
Bände «Der Herr der Ringe I, II, III». Ein einigermassen unordentlicher Mensch stellt
nach dem Abstauben (ganz unordentlich ist er also doch nicht) die Bücher zufällig ins
Regal zurück. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stehen nach dem Einräumen die drei genannten Bücher a) in der richtigen Reihenfolge (von links I, II, III) nebeneinander, b) in
beliebiger Reihenfolge nebeneinander?
Aufgabe 40 (3 Punkte). Wir würfeln gleichzeitig mit einem roten, einem blauen und
einem grünen Würfel. a) Geben Sie den Ergebnisraum Ω an. b) Geben Sie die Elemente
des Ereignisses E: «Die Summe der Augenzahlen des roten und des grünen Würfels ist
höchstens halb so gross wie jene des blauen Würfels» an. c) Was ist die Wahrscheinlichkeit
von E?
Aufgabe 41 (4 Punkte). Eine Lieferung von 48 Artikeln wird kontrolliert, indem 4
Stück zufällig ausgewählt und geprüft werden. Die Lieferung wird akzeptiert, wenn diese
Stichprobe kein defektes Gerät enthält. Nun hat der schlitzohrige Hersteller aber 45 gute
und 3 defekte Geräte geliefert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei der Prüfung der
Schwindel aufgedeckt?
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