Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Darunter ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung,
dass ein Ereignis B bereits vorher eingetroffen ist, zu verstehen. Wir schreiben dies als PB(A),
was als „die Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorraussetzung B“ zu lesen ist. Eine weitere
Schreibweise hierfür ist P(A|B), die nun verwendet wird, da sie grafisch einfacher
darzustellen ist.
Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeiten alle >0 sind. Die Grafiken
sollen verdeutlichen von welchen Wahrscheinlichkeiten gesprochen wird und ihren
Zusammenhang verdeutlichen, wobei der Strich über A und B jeweils „nicht“ bedeutet.
Es gilt:
Diese Formulierung wird benutzt um darzustellen, dass A und B gemeinsam auftreten und
wird als Verbundswahrscheinlichkeit bezeichnet. Zu lesen ist es als „A geschnitten B“. Nach
dem Umformen gilt selbstverständlich auch:
Ein Sonderfall bei der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die stochastische Unabhängigkeit.
Darunter versteht man, dass zwei Ereignisse völlig unabhängig voneinander sind.
Beispiele hierfür wären:
- 2 Würfe mit einer Münze
- gleicher Krankheitsverlauf bei Männern und Frauen
- die Krawattenfarbe bei der Wahl zwischen Auto oder Fahrrad
Erfüllt wird dies, wenn folgendes gilt:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A | B) 
P( A)  PA ( B)
 P( A)
P( B)
Um nun die Gesamtwahrscheinlichkeit von P(A) auszurechnen benutzen wir:
Damit wären die Grundvoraussetzungen für eine erfolgreiche Rechnung gegeben. Um das
Ganze etwas zu vertiefen folgen nun zwei Beispiele:
Das erste Beispiel soll verdeutlichen, was der Unterschied zwischen normaler
Wahrscheinlichkeitsrechnung und der bedingten ist.
1. Junge oder Mädchen?
Eine Mutter hat zwei Kinder und wird nach dem Geschlecht der Kinder gefragt. Fall 1 dient
Vergleichszwecken und basiert nicht auf bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Fall 1: Wenn das erste Kind ein Mädchen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass auch das zweite Kind ein Mädchen ist? Die Antwort ist 1/2.
Fall 2: Wenn wenigstens eines der Kinder ein Mädchen ist, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist? Die Antwort ist 1/3.
Das zunächst überraschende Ergebnis lässt sich mit der folgenden Tabelle bestimmen. Die
ersten beiden Spalten zeigen, welche Möglichkeiten bei zwei Kindern bestehen: Das
Erstgeborene kann ein Junge oder ein Mädchen sein, das Zweitgeborene kann ebenfalls ein
Junge oder ein Mädchen sein, insgesamt gibt es bei den Geschlechtern vier Kombinationen.
Spalte 3 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 1, davon ausgeht, dass das erste Kind
ein Mädchen sein muss – die Zeilen 1 und 2 sind dann nicht möglich.
Spalte 4 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 2, davon ausgeht, dass wenigstens
eines der beiden Kinder ein Mädchen ist.
2. Kind
Lösung zu Fall 1: Lösung für Fall 2:
Zweites Kind ist... Anderes Kind ist...
1 Junge
Junge
(geht nicht)
2 Junge
Mädchen (geht nicht)
1. Kind
3 Mädchen Junge
Junge
4 Mädchen Mädchen Mädchen
(geht nicht)
Junge
Junge
Mädchen
Einfaches Abzählen zeigt, dass in Fall 1 eine von zwei Möglichkeiten auf ein Mädchen, aber
in Fall 2 nur eine von drei Möglichkeiten auf ein Mädchen hinweist.
2. Service
Eine Firma beschäftigt drei Mitarbeiter, die telefonische Anfragen von Kunden beantworten
sollen.
Herr Alleskönner kann 95% aller Fragen zur Zufriedenheit der Kunden beantworten,
Frau Besserwisser 90% und Herr Chancenlos noch gerade 70%.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und errechnen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.
Berechnen Sie unter der Annahme, dass alle drei Mitarbeiter(innen) gleich viele Telefonate
beantworten, die Wahrscheinlichkeiten, dass
a) ein Kunde mit der Antwort, die er erhält, nicht zufrieden ist,
b) ein unzufriedener Kunde an Frau Besserwisser geraten ist,
c) eine Antwort, die zur Zufriedenheit des Kunden ausfiel, von Herrn Chancenlos
gegeben wurde,
d) ein Kunde an Herrn Alleskönner gerät und eine zufriedenstellende Antwort
bekommt.
Lösung zu 2.