¨Ubung Mathematik für Informatiker III/ Stochastik

B. Schmalfuß
Paderborn, den 23. November 2009
Übung Mathematik für Informatiker III/ Stochastik
(2. Serie)
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
I) Leiten Sie den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für die Vereinigung von 3
Ereignissen her und beweisen Sie die allgemeine Formel durch vollständige Induktion für n Ereignisse:
P(
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
X
(−1)k+1
k=1
P(
I⊆{1,...,n},|I|=k
\
Ai )
i∈I
(4 Punkte)
II) Gegeben seien die Wahrscheinlichkeiten
P (A) = 0.5,
P (B) = 0.25,
P (A ∩ B) = 0.125,
P (C) = 0.15,
P (A ∩ C) = 0.06,
P (B ∩ C) = 0.075,
P (A ∩ B ∩ C) = 0.03.
Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der zufälligen Ereignisse A ∪ C, A ∪ B ∪
C, Ac ∩ B c ∩ C, (Ac ∩ B c ) ∪ C. (3 Punkte)
III) a) Ein milder Dozent macht seine Noten, indem er 3 mal würfelt und die kleinste
Augenzahl nimmt. Bestimmen Sie den wahrscheinlichen Notenspiegel der Klausur!
b) Ein anderer Dozent geht ähnlich vor, nimmt aber das Maximum der Augenzahlen. Welchen Notenspiegel ergibt dies? (3 Punkte)
1) Um von der rechten oberen Ecke in die linke untere Ecke zu gelangen, darf man
nur nach, links, unten und schräg nach links-unten laufen. Wie viele verschiedene
Wege gibt es?
Abbildung 1. Plan der Wege
2) Im 13. und 14. Jahrhundert war das Sara-Spiel verbreitet. Dabei geht es darum,
zwei Würfel zu werfen und die richtige Augenzahl vorherzusagen. Welche Augenzahl
sollte man wählen, um mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit zu gewinnen? Wie
groß ist diese Wahrscheinlichkeit?
3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Skat (10 Karten aus 32)
a) kein As,
b) genau 2 Buben und genau 2 Asse,
c) genau 3 Buben, aber kein As
zu bekommen?
4) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen zwei von ihnen am
selben Tag Geburtstag haben, wobei der Jahrgang nicht beachtet wird (Geburtstagsparadoxon)?
Bedingte Wahrscheinlichkeiten/Satz von Bayes
5) Von den Angestellten eines Betriebes fahren 60 Prozent der Frauen und 80 Prozent der Männer mit einem eigenen PKW ins Büro. Die Anzahl männlicher und
weiblicher Angestellter stehen dabei im Verhältnis 3:2.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter (Mann oder Frau) im
eigenen Auto zur Arbeit kommt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bürokraft der Firma, die mit dem
PKW zur Arbeit kommt, weiblich ist?
6) Eine Versicherung ermittelt, dass bei Verkehrsunfällen von Autofahrern, die angegurtet waren, nur 8 Prozent Kopfverletzungen hatten. Bei nichtangeschnallten
Fahrern trugen 62 Prozent keine Kopfverletzungen davon. Es kann davon ausgegangen werden, dass 15 Prozent aller Autofahrer keinen Gurt anlegen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass die nach einem Unfall mit Kopfverletzung eingelieferten Autofahrer keinen Gurt trugen?
7) Zwei Medikamente A, B werden in den Städten 1, 2 getestet. In Stadt 1 werden
von 16 Patienten, die A nehmen, 4 gesund, von 40 die B nehmen, werden 11 gesund. In Stadt 2 ist das Verhältnis 29/40 für A beziehungsweise 12/16 für B. Man
weise nach, dass in beiden Städten B erfolgreicher ist als A, aber falls die Städte
zusammengefasst werden, ist A erfolgreicher (Simpson Paradoxon). Man beschreibe
dieses Paradoxon mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.
8) In einer Druckerei befinden sich vier voneinander unabhängig arbeitende Maschinen, die mit den Wahrscheinlichkeit 0.9, 0.95, 0.7, 0.85 arbeiten. Gesucht sind
die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
a) wenigstens eine Maschine arbeitet.
b) genau eine Maschine arbeitet.
c) genau zwei Maschinen arbeiten.
d) genau drei Maschinen arbeiten.
e) alle vier Maschinen arbeiten.
Abgabe der mit römischen Ziffern nummerierten Aufgaben bis Montag,
23. November, 11 Uhr.
Die Übungsteilnehmer der ersten Übungswoche (laut PAUL sind dies
Teilnehmer der Gruppen 2,4,6,8,10) geben die Übungszettel im Kasten
112 ab, die der zweiten Übungswoche (laut PAUL sind dies Teilnehmer
der Gruppen 1,3,5,7,9) im Kasten 122.
Zusätzlich ist auf den Übungsblättern folgendes anzugeben:
• Vor- und Nachname
• Matrikelnummer
• Gruppennummer (in Rot!)
Tag und Uhrzeit der Übungsgruppe sollen nicht auf den Zetteln vermerkt
sein. Zur korrekten Einteilung ist die Gruppennummer entscheidend!
Dabei müssen Name und Übungsgruppennummer mit PAUL übereinstimmen. Alle Abgaben sind leserlich, nicht mit Bleistift und auf DIN
A4 Blättern anzufertigen. Mehrere Blätter sind zu tackern. Lösungen
zu Aufgaben sind zu begründen. Nur Endergebnisse reichen nicht aus!
Zudem sind Gruppenabgaben nicht zulässig.
Zettel von Teilnehmern, die diese Bedingungen nicht einhalten, werden
nicht korrigiert.