Übungsblatt 7.

Einführung in die Statistik
Herbstsemester 2016
Prof. Dr. H. Harbrecht
Übungsblatt 7.
zu bearbeiten bis Freitag, 11. November 2016, 12 Uhr.
Aufgabe 1 (Binomialverteilung | 4 Punkte).
a) Bei einer bestimmten Malariaschutzimpfung treten im Mittel in 0.5% aller Fälle
Negativreaktionen auf.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 500 Impfungen Negativreaktionen beobachtet werden. Wie gross ist die durchschnittliche Anzahl der Negativreaktionen?
b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis A bei vier unabhängigen Versuchen
mindestens einmal eintritt, sei 0.5904. Dabei sei das Eintreten von A bei jedem
Versuch gleichwahrscheinlich.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Ereignis A mindestens
zweimal eintritt?
Aufgabe 2 (Gleichverteilung I | 4 Punkte).
Sei X eine auf dem Intervall [−1, 2] gleichverteilte Zufallsgrösse. Bestimmen Sie
P (−0.5 ≤ X ≤ 1.3),
P (X 2 ∈ [0.25, 2.89)) und P (|X| > 0.6).
Was ist der Erwartungswert von X?
Aufgabe 3 (Stetige Verteilungen | 4 Punkte).
Sei α > 1 und
(
κx−α , für x ≥ 1;
f (x) =
0,
für x < 1.
Bestimmen Sie κ so, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgrösse X ist. Bestimmen Sie ausserdem den Erwartungswert sowie die Varianz von X.
Aufgabe 4 (Gleichverteilung II | 2 Punkte).
Seien X, Y zwei unabhängige auf dem Intervall [−1, 1] gleichverteilte Zufallsgrössen. Ist
dann Z = X + Y eine auf dem Intervall [−2, 2] gleichverteilte Zufallsgrösse?
Aufgabe 5 (Konvexkombination von Wahrscheinlichkeiten | 2 Punkte).
Seien Ω eine Ergebnismenge und A eine σ-Algebra auf Ω. Seien weiter P0 und P1 zwei
Wahrscheinlichkeiten auf A, d.h. (Ω, A, P0 ) und (Ω, A, P1 ) sind Wahrscheinlichkeitsräume. Für a ∈ [0, 1] definieren wir
Pa : A → R,
A 7→ (1 − a)P0 (A) + aP1 (A).
Zeigen Sie, dass dann Pa eine Wahrscheinlichkeit auf A ist, d.h. den Kolmogorovschen
Axiomen genügt.