Statistische Formeln für den Szenariodesigner

Statistische Formeln für den Szenariodesigner
Im Folgenden werden die in der Aufgabenstellung für den Szenariodesigner erwähnten
Verteilungen erklärt. Wer es gar nicht so genau wissen will, kann den Abschnitt Hintergrund
jeweils auslassen und einfach nur die Formel unter Implementierung abtippen.
Stetige Verteilungen
Gleichverteilung
Hintergrund
Die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b] hat die Dichtefunktion
f ( x) =
1
.
b−a
Der Erwartungswert ist (a+b)/2 und die Standardabweichung (b-a)/√12.
Die Gleichverteilung wird verwendet, wenn alle möglichen Werte gleich wahrscheinlich sind.
Implementierung
Die auf dem Rechner zur Verfügung stehenden Zufallsgeneratoren, etwa die random()
Methode von Java, geben auf dem Intervall [0,1] (zumindest annähernd) gleichverteilte Werte
zurück.
Daraus lassen sich leicht auf dem Intervall [a,b] gleichverteilte Werte u[a,b] erzeugen:
u[ a ,b ] = a + (b − a ) u[ 0,1]
Exponentialverteilung
Hintergrund
Die Exponentialverteilung hat die Dichtefunktion
f ( x ) = λ e − λx .
Ihr Erwartungswert ist 1/λ, ihre Standardabweichung ist 1/λ2.
Sie wird häufig für die Modellierung von Wartezeiten verwendet, weil sie „gedächtnislos“ ist,
d.h. für die Berechnung der zukünftigen Wartezeit spielt es keine Rolle, wie lange bereits
gewartet wurde. Radioaktiver Zerfall ist etwa ein natürliches Beispiel für einen
exponentialverteilten Prozess.
Implementierung
Aus den 0,1-gleichverteilten Werten u, die die random()-Methode zurückgibt, lassen sich
direkt nach folgender Formel mit Parameter λ exponentialverteilte Werte y gewinnen:
y=−
1
λ
ln (1 − u ) .
Für alle, die es genau wissen wollen: Nach dem Simulationslemma erhält man einer
Verteilung entsprechende Zufallswerte, wenn man in die Inverse ihrer Verteilungsfunktion
(die Verteilungsfunktion ist das Integral der Dichtefunktion) 0,1-gleichverteilte Werte
einsetzt.
Normalverteilung
Hintergrund
Die Normalverteilung ist die bekannte Glockenkurve. Viele Beispiele in der Praxis, etwa
Körpergrößen, Fabrikationsungenauigkeiten oder Messfehler, entsprechen annähernd einer
Normalverteilung. Ihre Dichte ist
f (x ) =
1
2π σ
e
−
(x − µ )2
2σ
2
.
Ihr Erwartungswert ist µ, ihre Standardabweichung ist σ. N(0,1), d.h. eine Normalverteilung
mit µ=0 und σ=1, wird als Standardnormalverteilung bezeichnet.
Implementierung
Leider funktioniert das Simulationslemma bei der Normalverteilung nicht, weil man noch
nicht einmal ihre Verteilungsfunktion, geschweige denn die Inverse der Verteilungsfunktion,
als Formel angeben kann. Allerdings gibt es andere Methoden, die standardnormalverteilte
Zufallswerte zu erzeugen. Eine einfache Methode ist das Verfahren von Box-Muller, mit dem
folgendermaßen aus zwei 0,1-gleichverteilten Zufallszahlen u1 und u2 zwei (oder wahlweise
auch nur ein) normalverteilte(r) Wert(e) z1 (und z2) gewonnen werden:
z1 = − 2 ln (u1 ) sin( 2π u 2 )
z 2 = − 2 ln (u1 ) cos(2π u 2 ) .
Aus standardnormalverteilten Werten z0,1 kann man jede andere Normalverteilung erzeugen:
z µ ,σ = σ z 0,1 + µ
Für die Frist f eines Auftrags, die normalverteilt mit Parametern µ = k m und σ = (k-1) m / q
sein soll, ergibt sich also:
f =
(k − 1) d min
q
z + k d min .
Diskrete Verteilungen
Laplace-Verteilung
Hintergrund
Die Laplace-Verteilung ist das diskrete Gegenstück zur Gleichverteilung. Eine endliche
Menge von Ereignissen hat dabei jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Bekanntestes Beispiel ist das Werfen eines sechsseitigen Würfels, wobei alle Zahlen die
gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/6 haben.
Implementierung
Die Laplace-Verteilung für n Ereignisse lässt sich leicht aus der Gleichverteilung gewinnen,
indem man das Intervall [0,1] in n gleiche Abschnitte unterteilt und dann prüft, in welchen
Abschnitt der generierte Zufallswert fällt:
l = ceiling (n u )
Binomialverteilung
Hintergrund
Die Binomialverteilung zählt das Eintreten eines Ereignisses (X), etwa „Kopf“ beim nmaligen Münzewerfen, bei einem möglichen Gegenereignis („Zahl“). Wenn die
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis p ist, gilt für k-maliges Eintreten bei n Versuchen:
n
n−k
B( X = k ) =   p k (1 − p )
k
 
Der Erwartungswert ist np, die Standardabweichung np(1-p).
Implementierung
Die Binomialverteilung lässt sich ganz einfach simulieren, indem man das Experiment mit
dem Rechner nachspielt. Für jeden Münzenwurf (p = 0,5) nimmt man eine gleichverteilte
Zufallsvariable u und wertet den Versuch als Erfolg (Kopf), wenn u ≤ p ist.
Multinomialverteilung (Polynomialverteilung)
Hintergrund
Die Multinomialverteilung ist die Verallgemeinerung der Binomialverteilung auf mehr als
zwei mögliche Ereignisse. Jedem Ereignis wird eine eigene Wahrscheinlichkeit pi zugeordnet,
die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss dabei natürlich 1 sein. Es wird wiederum
gezählt, wie oft bei n Versuchen jedes Ereignis eintritt. Die Verteilung ist im täglichen Leben
relativ häufig anzutreffen, etwa, wenn man zählt, wie oft beim Würfeln mit einem oder
mehreren Würfeln eine bestimmte Summe gefallen ist, wird aber in Statistikvorlesungen
gerne stiefkindlich behandelt, weil die zugehörigen Formeln etwas unhandlich sind. Dasselbe
wollen wir hier also auch tun.
Wichtig ist für uns nur, dass der Erwartungswert für das i-te Ereignis npi ist.
Implementierung
Die Multinomialverteilung lässt sich wie die Binomialverteilung ganz leicht simulieren,
indem man die einzelnen ‚Würfe’ nachspielt. Das lässt sich dadurch erreichen, dass man das
Intervall [0,1] entsprechend den Wahrscheinlichkeiten pi in unterschiedlich große Abschnitte
unterteilt, eine Zufallszahl u generiert und dann das Ereignis auswählt, in dessen Abschnitt u
fällt.
Für die Bestimmung des Start-Zielort-Paares nimmt man also einfach die vorgegebenen
Anteile asz als Einzelwahrscheinlichkeiten. Also werden z.B. bei drei möglichen Strecken mit
Anteil 40% (A), 50% (B) und 10% (C) die Intervallgrenzen bei 0,4 und 0,9 gezogen und
somit bei u=0,3 A, u=0.44 B, u=0.63 B und u=0.93 C gewählt.