BINOMIAL- UND NORMALVERTEILUNG ab Ende der 12. Schulstufe Eine Maschine erzeugt Glühbirnen mit einem Ausschussanteil von 1%. a) Eine Binomialverteilung der Zufallsvariablen X mit den Parametern p und n wird n mit der Formel P (X = k) = pk ( 1− p )n − k , k ≤ n beschrieben. k Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 6000 Glühbirnen 60 bis 75 Stück schadhaft sind. Dokumentiere deinen Lösungsweg. b) Berechne diese Wahrscheinlichkeit mittels Normalverteilung und vergleiche das Ergebnis mit dem aus a). Möglicher Lösungsweg a) Zur Lösung der Aufgabe kann für die Binomialverteilung und die Summe der Binomialverteilungen eine Funktion einprogrammiert werden, was ein schnelles Rechnen erlaubt (siehe Abbildung). Abb. 1 6000 ⋅ 0,01k ⋅ 0,99 6000 −k k k = 60 75 P(60 ≤ X ≤ 75) = P(X=60) + P(X=61)+…+P(X=75) = ∑ Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 49,2 % keine Hilfsmittel erlaubt Binomial- und Normalverteilung gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich 1 b) Für die Normalverteilung kann die Funktion Φ(z) einprogrammiert und zum Rechnen benutzt werden (siehe Abbildung). Abb. 2 Die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung liefert ein etwas anderes Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 47,4 % . Binomial- und Normalverteilung 2 Klassifikation Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension a) b) H2 • elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension a) b) I4 I4 • • diskrete Verteilung: Binomialverteilung stetige Verteilung: Normalverteilung Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension a) b) K2 • Herstellen von Verbindungen Nachhaltigkeitserwartung a) b) N4 • "wieder holbar": Grundbegriffe und strukturelle Zusammenhänge müssen "wiedergeholt" werden. Technologieeinfluss Für das Lösen dieser Aufgabe ist regelmäßiger Technologieeinsatz im Unterricht Binomial- und Normalverteilung erforderlich. vorteilhaft. neutral. 3