binomial- und normalverteilung

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BINOMIAL- UND NORMALVERTEILUNG
ab Ende der 12. Schulstufe
Eine Maschine erzeugt Glühbirnen mit einem Ausschussanteil von 1%.
a) Eine Binomialverteilung der Zufallsvariablen X mit den Parametern p und n wird
n
mit der Formel P (X = k) =   pk ( 1− p )n − k , k ≤ n beschrieben.
k 
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 6000 Glühbirnen 60 bis 75 Stück
schadhaft sind. Dokumentiere deinen Lösungsweg.
b) Berechne diese Wahrscheinlichkeit mittels Normalverteilung und vergleiche das
Ergebnis mit dem aus a).
Möglicher Lösungsweg
a) Zur Lösung der Aufgabe kann für die Binomialverteilung und die Summe der
Binomialverteilungen eine Funktion einprogrammiert werden, was ein schnelles
Rechnen erlaubt (siehe Abbildung).
Abb. 1
 6000 
 ⋅ 0,01k ⋅ 0,99 6000 −k
k 
k = 60
75
P(60 ≤ X ≤ 75) = P(X=60) + P(X=61)+…+P(X=75) =
∑ 
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 49,2 %
keine Hilfsmittel erlaubt
Binomial- und Normalverteilung
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
b) Für die Normalverteilung kann die Funktion Φ(z) einprogrammiert und zum
Rechnen benutzt werden (siehe Abbildung).
Abb. 2
Die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung liefert ein etwas
anderes Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 47,4 % .
Binomial- und Normalverteilung
2
Klassifikation
Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension
a)
b)
H2
•
elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und
durchführen
Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension
a)
b)
I4
I4
•
•
diskrete Verteilung: Binomialverteilung
stetige Verteilung: Normalverteilung
Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension
a)
b)
K2
•
Herstellen von Verbindungen
Nachhaltigkeitserwartung
a)
b)
N4
•
"wieder holbar": Grundbegriffe und strukturelle Zusammenhänge müssen "wiedergeholt" werden.
Technologieeinfluss
Für das Lösen dieser Aufgabe ist regelmäßiger Technologieeinsatz im Unterricht
Binomial- und Normalverteilung
erforderlich.
vorteilhaft.
neutral.
3
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