LK Mathematik * K13 * Aufgaben zur Normalverteilung - Rasch-Web

LK Mathematik * K13 * Aufgaben zur Normalverteilung
Aufgabe 1
Eine Maschine stellt Transistoren her, von denen durchschnittlich 5 % fehlerhaft sind.
Pro Tag werden 200 Transistoren geprüft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
a) weniger als 5
b) mehr als 15
c) nicht weniger als 5 und nicht mehr als 15 geprüfte Transistoren defekt?
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten sowohl mit der Binomialverteilung als auch mit
der Normalverteilung.
Aufgabe 2
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Normalverteilung:
a) P200 0,3 (X 70)
b) P500 0,2 (X 95)
c) P1000 0,4 (390 X
410)
d) P2000 0,3 (X 650)
e) P5000 0,05 (X 200)
f) P800 0,6 (475 X
485)
Aufgabe 3
Eine Fertigungsmaschine produziert 10 % Ausschuss.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Charge von 1000 Stück nicht mehr als 100
Stück Ausschuss?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Ausschussrate einer Charge von 1000 Stück um
nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?
Aufgabe 4
Eine Grippeepidemie wird nach Einschätzung der Statistiker bei 8 % der Bevölkerung eine
ärztliche Behandlung notwendig werden lassen. Ein Großhandel möchte für die Apotheken
einer Kreisstadt mit 20 000 Einwohnern Behandlungsmaterialien im voraus bestellen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden maximal 1700 Patienten anfallen ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 1500 Patienten anfallen ?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Zahl der Patienten um nicht mehr als die
Standardabweichung vom Erwartungswert ab?
Aufgabe 5
Nach einer gängigen Definition gilt ein Haushalt (HH) als arm, wenn er über weniger als 50%
des Durchschnittseinkommens verfügt.
a) Wie hoch wäre der Anteil armer Haushalte, wenn die HH-Nettoeinkommen mit = 3000 €
und = 1600 € normalverteilt wären?
b) Weiter die obige Verteilung unterstellt: Über welche Nettoeinkommen verfügen die 5%
wohlhabendsten Haushalte mindestens?
LK Mathematik * K13 * Aufgaben zur Normalverteilung * Lösungen
200
1. a) P(X < 5) = P(X ≤ 4) = F0,05
(4) = 0,02645 ≈ 2,6%
4 − 200 ⋅ 0,05 + 0,5
P(X < 5) = P(X ≤ 4) ≈ φ
≈ φ ( −1,78 ) = 1 − φ (1,78 ) =
200 ⋅ 0,05 ⋅ 0,95
= 1 − 0,96246 ≈ 3,8%
200
b) P(X > 15) = 1 − P(X ≤ 15) = 1 − F0,05
(15) = 1 − 0,95564 ≈ 4, 4%
15 − 200 ⋅ 0,05 + 0,5
P(X > 15) = 1 − P(X ≤ 15) ≈ 1 − φ
≈ 1 − φ (1,78 ) = 3, 75%
200 ⋅ 0, 05 ⋅ 0,95
200
200
c) P(5 ≤ X ≤ 15) = P(X ≤ 15) − P(X ≤ 4) = F0,05
(15) − F0,05
(4) = 0,95564 − 0,02645 ≈ 92,9%
15 − 200 ⋅ 0,05 + 0,5
4 − 200 ⋅ 0,05 + 0,5
P(5 ≤ X ≤ 15) = P(X ≤ 15) − P(X ≤ 4) ≈ φ
−φ
≈
200 ⋅ 0,05 ⋅ 0,95
200 ⋅ 0,05 ⋅ 0, 95
≈ φ (1,78 ) − φ ( −1,78 ) = 2 ⋅ φ (1,78 ) − 1 = 2 ⋅ 0,96246 − 1 ≈ 92,5%
200
0.3
70 − 200 ⋅ 0,3 + 0,5
(X ≤ 70) ≈ φ
≈ φ (1, 62 ) = 0,94738 ≈ 94,7%
200 ⋅ 0,3 ⋅ 0,7
500
0.2
95 − 200 ⋅ 0, 2 + 0,5
(X ≤ 95) ≈ φ
≈ φ ( −0,50 ) =1 − φ ( 0,50 ) = 1 − 0,69146 ≈ 30, 9%
200 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,8
2. a) P
b) P
1000
0.4
c) P
410 − 1000 ⋅ 0, 4 + 0,5
390 − 1000 ⋅ 0, 4 − 0,5
(390 ≤ X ≤ 410) ≈ φ
−φ
≈
1000 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,6
1000 ⋅ 0, 4 ⋅ 0, 6
φ ( 0, 68 ) − φ ( − 0, 68 ) = 2 ⋅φ ( 0, 68 ) − 1 = 2 ⋅ 0,75175 − 1 ≈ 50, 4%
2000
0.3
d) P
(X ≥ 650) = 1 − P
2000
0.3
649 − 2000 ⋅ 0,3 + 0,5
(X ≤ 649) ≈ 1 − φ
≈ 1 − φ ( 2, 42 )
2000 ⋅ 0,3 ⋅ 0, 7
= 1 − 0,99224 ≈ 0,8%
200 − 5000 ⋅ 0, 05 + 0,5
e) P (X ≤ 200) ≈ φ
≈ φ ( −3, 21) = 1 − φ ( 3, 21) =
5000 ⋅ 0, 05 ⋅ 0,95
1 − 0,99933633 ≈ 0, 07%
5000
0.05
485 − 800 ⋅ 0,6 + 0,5
475 − 800 ⋅ 0,6 − 0,5
f) P (475 ≤ X ≤ 485) ≈ φ
−φ
≈
800 ⋅ 0,6 ⋅ 0, 4
800 ⋅ 0, 6 ⋅ 0, 4
800
0.6
φ ( 0, 40 ) − φ ( − 0, 40 ) = 2 ⋅φ ( 0, 40 ) − 1 = 2 ⋅ 0, 65542 − 1 ≈ 31,1%
1000
0,1
3. a) P
100 − 1000 ⋅ 0,1 + 0,5
(X ≤ 100) ≈ φ
≈ φ ( 0, 05 ) = 0,51994 ≈ 52, 0%
1000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9
1000
b) P0,1
( X − µ ≤ σ ) ≈ 2 ⋅φ
σ + 0,5
−1 = 2 ⋅ φ
1000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9
2 ⋅φ (1, 05 ) −1 = 2 ⋅ 0,85313 − 1 ≈ 70, 6%
1000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 + 0,5
−1 =
1000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9
1700 − 20000 ⋅ 0, 08 + 0,5
20000
4. a) P0.08
(X ≤ 1700) ≈ φ
≈ φ ( 2, 62 ) = 0,99560 ≈ 99, 6%
20000 ⋅ 0, 08 ⋅ 0,92
1499 − 20000 ⋅ 0, 08 + 0,5
20000
20000
b) P0.08
(X ≥ 1500) = 1 − P0.08
(X ≤ 1499) ≈ 1 − φ
≈
20000 ⋅ 0,08 ⋅ 0,92
1 − φ ( −2,62 ) = φ ( 2,62 ) ≈ 99,6%
σ + 0,5
20000
c) P0,08
( X −µ ≤σ) ≈ 2⋅φ
−1 = 2 ⋅ φ
σ
20000 ⋅ 0, 08 ⋅ 0,92 + 0,5
−1 =
20000 ⋅ 0, 08 ⋅ 0,92
2 ⋅φ (1, 01) −1 = 2 ⋅ 0,84375 − 1 ≈ 68,8%
1
1
1
0,5
0,5
3000 − 0,5
⋅µ
−
µ
−
−
⋅µ
−
−
1
n
2
2
2
5. a) Pp (X < ⋅µ) ≈ φ
=φ
=φ
≈ φ ( − 0, 94 ) =
2
1600
σ
σ
1 − φ ( 0,94 ) = 1 − 0,82639 ≈ 17, 4%
b) gesucht ist k mit 0, 05 = P(X ≥ k) d.h 0, 05 = 1 − P(X < k) ⇔ P(X < k) = 0,95 ⇔
k− µ
k− µ
φ
≈ 0,95 ⇔
= 1, 6449 (Tabelle Seite 61) ⇔ k = 1, 6449 ⋅ σ + µ ⇔
σ
σ
k = 1, 6449 ⋅1600€ + 3000 € ≈ 5632 €
Die 5% der wohlhabendsten Haushalte verfügen demnach über mindestens 5632 € an
Nettoeinkommen.