Ubungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Institut für Informatik II
der Universität Bonn
Römerstraße 164
53117 Bonn
8. Juni 2000
Ch. Strelen / W. Sandmann
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Blatt 8, Besprechung: Dienstag, 20. Juni, 17st Uhr, Hörsaal D
Das Studium der Gesetze der großen Zahlen hat eine lange Geschichte. J. Bernoulli (1654–
1705) kannte bereits das schwache Gesetz der großen Zahlen für den Fall der nach ihm benannten Bernoullischen Versuchsfolgen. É. Borel (1871–1956) bewies 1909 erste Formen des
starken Gesetzes der großen Zahlen1 . Pionierarbeit auf dem Gebiet des schwachen bzw. starken
Gesetzes leisteten A. J. Khintchine (1894–1959) und A. N. Kolmogorov (1903–1987).2
Eine Approximation der Binomial–Verteilung durch die Normalverteilung wurde zuerst von
de Moivre (1733) unter Verwendung der — damals relativ neuen — Stirlingschen Formeln
gegeben. Laplace (1812) und Gauss (1816) wissen bereits, daß die Verteilung von Summen
ganz allgemein gegen eine Normalverteilung konvergiert. Der erste echte Beweis — allerdings
unter sehr einschränkenden Momentenbedingungen — stammt von Tschebyscheff (1890),
√
das erste wirklich befriedigende Ergebnis, mit einer Fehlerschranke ln n/ n, von Ljapunoff
(1901).3
Hinweise zur Klausur
Klausurtermine
• 1. Klausur: Donnerstag, 6. Juli 2000, 14–16 Uhr
• 2. Klausur: Donnerstag, 26. Oktober 2000, 14–16 Uhr
Anmeldung
Sie müssen sich im Sekretariat der Abteilung II (Raum N 214) persönlich anmelden. Die Anmeldung
ist ab Dienstag, 13. Juni 2000 jeweils wochentags in der Zeit von 9–12 Uhr möglich. Die Anmeldefrist
endet am Freitag, 30. Juni 2000, 12 Uhr. Wer sich nicht bis spätestens Freitag, 30. Juni 2000, 12
Uhr für mindestens eine der beiden Klausuren angemeldet hat, erhält nachträglich keine Zulassung
mehr, auch nicht für die zweite Klausur!
Ein Informationsblatt mit weiteren Hinweisen zur Klausur erhalten Sie bei der Anmeldung im Sekretariat
der Abteilung II.
Aufgabe 41
a) Welche Dichte hat die Zufallsvariable
n
P
i=1
Xi
n ,
wenn die Xi unabhängig identisch normalverteilt sind,
und was passiert bei n → ∞? Vergleichen Sie mit Aufgabe 34 c).
b) Berechnen Sie für ∈ IR
+
n
1 P
die Wahrscheinlichkeit P n
Xi − µ ≥ , und zeigen Sie damit, daß
i=1
hier das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt.
c) Wie verhalten sich die Dichten, Erwartungswerte und Varianzen von Ek (µ) Verteilungen für k → ∞?
1
Deswegen heißt dieses Gesetz auch Borelsches Gesetz der großen Zahlen.
H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie, de Gruyter, 1991, S. 72.
3
J. Pfanzagl: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, de Gruyter, 1988, S. 163.
2
Aufgabe 42
Der für die Hörsaalübungen zu einer Stochastik-Vorlesung zuständige Assistent überzieht seine Veranstaltung jedesmal um eine Zeitspanne, deren Dauer (in Minuten) exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von 15 Minuten ist. In einem Semester finden insgesamt zehn solcher Hörsaalübungen statt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß der Assistent bei allen Hörsaalübungen zusammen höchstens
zwei Stunden überzieht, sowohl exakt als auch näherungsweise mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes.
Aufgabe 43
Die Anzahl der Studenten einer Universität sei 36947, und es komme jeder Tag mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Geburtstag vor.
a) Schätzen Sie mit der Tschebyscheffschen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit ab, daß die Anzahl
der Studenten an der Universität, die an einem bestimmten Tag Geburtstag haben, um mehr als
zwanzig von ihrem Erwartungswert abweicht.
b) Schätzen Sie mit dem Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace die Wahrscheinlichkeit, daß
höchstens 100 Studenten an einem bestimmten Tag Geburtstag haben.
c) Approximieren Sie die in a) gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Normalverteilung sowohl mit als
auch ohne die Verschiebung um 0.5.
d) Approximieren Sie mit der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, daß genau 100 Studenten am
8. Juni Geburtstag haben.
Aufgabe 44
Gegeben seien α ∈ IR+ und Zufallsvariablen Sn , die jeweils mit Parameter nα Poisson-verteilt sind,
n ∈ IN. Zeigen Sie, daß für alle β ∈ IR gilt:

lim 
n→∞
√
nα+β
X nα
k=0

P {Sn = k} = Φ(β).