¨Ubung (12)

Übung (12)
1. Die Variable X sei Poisson-verteilt mit λ = 5.
(a) Berechnen Sie P (X ≤ 2) .
(b) Das Experiment zu X werde 12 mal wiederholt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dabei höchstens
zwei mal der X− Wert 3 auf?
(c) Wie lange muss man warten, damit man mit Wahrscheinlichkeit 0.99 wenigstens einen Poisson-Treffer
beobachtet hat?
(d) Wie lange muss man warten, damit man mit Wahrscheinlichkeit 0.99 wenigstens 50 Poisson-Treffer
gesehen hat?
2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei 100 Würfen mit einem symmetrischen Würfel
zwischen 20 und 30 Sechsen hat (diese Zahlen eingeschlossen). Tun Sie das über Näherung mit Normalverteilung, benutzen Sie dabei Stetigkeitskorrektur. Wenn möglich, vergleichen Sie mit dem exakten Wert (den Sie ebenso wie den Näherungswert möglichst mit einem Computeralgebraprogramm ausrechnen sollten). Wenn Sie keine Normalverteilungstabelle haben und über kein Computeralgebraprogramm verfügen: Hier sind die relevanten Werte der Verteilungsfunktion zur (0, 1) −Normalverteilung:
Φ0,1 (3.71) = 0.999 896 370 4, Φ0,1 (0.76) = 0.776 372 707 6.
3. Sie verfügen über eine Messmethode für eine Gewichtsmessung, welche als Erwartungswert den korrekten
Wert der Größe besitzt und eine Streuung von 10−4 [kg].
(a) Wie viele unabhängige Messwerte (vom selben Objekt) müssen Sie nehmen, damit die Streuung des
Mittelwertes auf 10−5 [kg] sinkt?
(b) Welches 99%-Vertrauensintervall können Sie dann für das Gewicht des Objektes angeben, wenn Sie
mit der Anzahl der Messungen aus a x = 1.1[kg] gefunden haben?
4. in einer Zufallsstichprobe von 51 Geräten einer Fabrikation haben Sie 5 defekte gefunden. Geben Sie ein
95%-Vertrauensintervall für den Anteil der defekten Geräte in der gesamten Fabrikation (die benötigten
Vertrauensintervallgrenzen für Normalverteilung und passende t− Verteilung finden Sie im Skriptum):
(a) mittels der Tschebyscheffschen Ungleichung (rechnen Sie dafür mit der maximal möglichen Streuung),
(b) mittels der Normalverteilung (rechnen Sie dafür wie in a mit der maximal möglichen Streuung),
(c) mittels der t− Verteilung und der anhand des Stichprobenresultats geschätzten Streuung.
5. Mit Lastwagenladungen soll ein Schiff mit Schüttgut beladen werden. Die Lastwagen fassen im Mittel
22.5 Tonnen, mit einer Streuung von 50[kg]. Das Schiff fasst 20000 Tonnen. Wie viele Lastwagenladungen
müssen bereitgestellt werden, damit das Schiff mit Wahrscheinlichkeit 0.99 ausreichend (d.h. mit 20000
Tonnen des Materials) versorgt wird? Hinweis: Arbeiten Sie mit der Variablen X = Gesamtladung von
n Lastwagen. Welche Verteilung wird X haben? Sie werden benötigen: Φ0,1 (−2.33) = 0.01. (−2.33 ist
natürlich nicht ganz exakt, aber für unsere Zwecke genau genug.)
6. Stellen Sie sich vor, eine Population bestehe aus zwei getrennten Gruppen A und B, also Ω = A ∪ B und
A ∩ B = ∅. Die Teilpopulation A mache ein Drittel von Ω aus. Auf
der
Population Ω habe man eine
Zufallsvariable X, und diese sei auf A normalverteilt mit µA = µ X|A = 100, σA = σ X|A = 8. Die
Variable X sei auf B ebenfalls normalverteilt, aber mit µB = 90, σB = 8. Hinweis: Sie werden benötigen:
Φ0,1 (−1.25) = 0.10565.
(a) Berechnen Sie P (X ≥ 90|A) und P (X ≥ 90|B) .
(b) Wenn Sie zufällig ein Individuum aus Ω ziehen und dessen X− Wert ist ≥ 100, mit welcher Sicherheit
können Sie dann behaupten, dass das Individuum aus Gruppe A ist? Zusatzfrage: Wie entwickelt
sich letztere Wahrscheinlichkeit, wenn σ A , σB kleiner werden? (Hinweis: Erinnern sich an Bayessche
Formel und Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit.)
7. Sie haben eine Population Ω = A∪B mit A∩B = ∅. Dabei mögen A, B jeweils die Hälfte von Ω ausmachen.
Wie in der vorigen Aufgabe haben Sie eine Variable X auf Ω, welche jeweils auf A und auf B normalverteilt
ist mit µA = 100, µB = 90. Ferner sei σA = σ B = σ. Wir wollen naheliegend folgende Entscheidungsregel
anwenden: Wenn wir bei einem Individuum aus Ω einen X− Wert ≥ 95 antreffen, so entscheiden wir,
das Individuum gehöre zu A. Wenn der X− Wert < 95 ist, entscheiden wir auf Zugehörigkeit zu B.
Die Frage nun: Wie groß darf σ höchstens sein, damit wir nur eine Wahrscheinlichkeit von 0.01 für eine
Fehlentscheidung haben? (Hinweis: Φ0,1 (−2.33) = 0.01.)