Blatt 15 - Fakultät 8 • Fachbereich Mathematik | Universität Stuttgart

Universität Stuttgart
Institut für Angewandte Analysis
und Numerische Simulation
Prof. Dr. H. Harbrecht
Höhere Mathematik III
WS 09/10
Gruppenübung 15
z
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
,00
,8413
,8643
,8849
,9032
,9192
,9332
,9452
,9554
,9641
,9713
,9772
,01
,8438
,8665
,8869
,9049
,9207
,9345
,9463
,9564
,9649
,9719
,9778
,02
,8461
,8686
,8888
,9066
,9222
,9357
,9474
,9573
,9656
,9726
,9783
,03
,8485
,8708
,8907
,9082
,9236
,9370
,9484
,9582
,9664
,9732
,9788
,04
,8508
,8729
,8925
,9099
,9215
,9382
,9495
,9591
,9671
,9738
,9793
,05
,8513
,8749
,8944
,9115
,9265
,9394
,9505
,9599
,9678
,9744
,9798
,06
,8554
,8770
,8962
,9131
,9279
,9406
,9515
,9608
,9686
,9750
,9803
,07
,8577
,8790
,8980
,9147
,9292
,9418
,9525
,9616
,9693
,9756
,9808
,08
,8529
,8810
,8997
,9162
,9306
,9492
,9535
,9625
,9699
,9761
,9812
,09
,8621
,8830
,9015
,9177
,9319
,9441
,9545
,9633
,9706
,9767
,9817
Ausgewählte Werte der Verteilungsfunktion Φ0,1 (z) für die Standardnormalverteilung
Aufgabe 73 (Standard-Normalverteilung)
Typ: Präsenz
Ein Produkt A soll in einer Verpackung B verkauft werden. Das Produkt wird von Maschine I erzeugt, während die Verpackung davon unabhängig von Maschine II produziert
wird.
Das Gewicht X der Produkte A sei normalverteilt mit µX = 150g, σX = 4g.
Das Gewicht Y der Verpackungen B sei normalverteilt mit µY = 60g, σY = 3g.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Gewicht des Produktes A größer als 158g?
b) In welchem zu µY symmetrischen Intervall liegt mit einer Sicherheit von 75% das
Gewicht der Verpackungen B?
2
c) Das Gesamtgewicht Z = X +Y ist normalverteilt mit µZ = µX +µY und σZ2 = σX
+σY2 .
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine fertige Packung weniger als 217g?
Aufgabe 74 (Satz von de Moivre–Laplace)
Typ: Präsenz
Ein spezieller Schaltkreis sei mit der Wahrscheinlichkeit q = 0,7 funktionsfähig. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer gefertigten Serie von 1000 Schaltkreisen
a) wenigstens 680 Schaltkreise voll funktionsfähig sind,
b) die Anzahl der voll funktionsfähigen Schaltkreise zwischen 675 und 725 Stück liegt.
c) Wie viele Schaltkreise muss die Serie umfassen, damit mit 98% Sicherheit mindestens
680 Schaltkreise funktionieren?
Aufgabe 75 (Wahrscheinlichkeitsdichte)
Typ: Klausur
(
αx, für x ∈ (0, 2) ,
Gegeben sei die Funktion f : R → R, f (x) =
0,
sonst.
a) Bestimmen Sie α > 0 so, dass f die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf R
ist, und berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
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18.02.2010
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer reellwertigen Zufallsvariablen X mit der Verteilung aus a).
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ({X > 1}) und finden Sie ein β ∈ [1, 2] so, dass
die Ereignisse {X > 1} und {X ≤ β} stochastisch unabhängig sind.
Aufgabe 76 (Verteilungen)
Typ: Klausur
Ein Zufallsexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/50 werde 100 mal wiederholt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Erfolge
a) mit Hilfe der Binomialverteilung,
(Hinweis: Als Ergebnis genügt eine Formel, die man mit dem Taschenrechner auswerten
kann)
b) näherungsweise mit Hilfe der Poisson–Verteilung,
c) näherungsweise mit Hilfe der Normalverteilung.
Aufgabe 77 (Laplace-Transformation)
Gegeben ist das Anfangswertproblem
u′′ (t) + 2u′ (t) + u(t) = 25 cos(2t) ,
Typ: Klausur
u(0) = −3 , u′(0) = 8 .
a) Geben Sie die Gleichung an, in die das Anfangswertproblem durch Laplace-TransforL
mation u(t) → U(s) übergeht, und lösen Sie diese nach U(s) auf.
b) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems an.
Aufgabe 78 (Partielle Dgl erster Ordnung)
Typ: Klausur
Ermitteln Sie die Lösung u(t, x) der linearen partiellen Differentialgleichung
∂t u(t, x) + 2∂x u(t, x) + 3u(t, x) = 3t2 + 2t
für die Anfangswerte u(0, x) = e−2x .
Aufgabe 79 (Partielle Dgl zweiter Ordnung)
Lösen Sie das Anfangsrandwertproblem
Typ: Klausur
∂tt u(t, x) = 2∂xx u(t, x) + 6u(t, x), x ∈ (0, π), t > 0,
u(t, 0) = u(t, π) = 0,
u(0, x) = 0, ∂t u(0, x) = 8 sin(x).
Aufgabe 80 (Kombinatorik)
Typ: Klausur
In einer Urne liegen drei von 1 bis 3 durchnummerierte Kugeln. Es werden drei Kugeln
mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X messe die Summe der Nummern der
gezogenen Kugeln.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X durch Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Testen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ausrechnen.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
c) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P ({X = 6}|{X ≥ 6}).
d) Sind die Ereignisse {X ≥ 5} und {X ≤ 7} stochastisch unabhängig?
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