Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eine stetige Zufallsvariable kann (in einem bestimmten Bereich) jeden beliebigen
Wert annehmen. Man kann sie durch ihre Dichtefunktion f(x) beschreiben. Die
Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen a und b liegt,
entspricht der Fläche unter der Kurve,
also dem Integral
.
Die gesamte Fläche unter der Kurve ist 1 (sicheres Ereignis). Die Wahrscheinlichkeit,
dass X einen bestimmten Wert annimmt, ist bei stetigen Verteilungen 0. Daher ist es
egal, ob man P(X < a) oder P(X ≤ a) berechnet.
Auch Erwartungswert und Standardabweichung einer stetigen Verteilung werden mit
Hilfe des Integrals definiert.
Die Normalverteilung
Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die von C. F. Gauß (1777 1855) entdeckte Normalverteilung (die bekannte "Glockenkurve"):
mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ.
Sie tritt bei vielen Größen im Alltag auf. Das Integral dieser Funktion können wir nicht
berechnen, aber das haben wir zum Glück gar nicht nötig:
Durch die Standardisierungsformel
erhalten wir die Standardnormalverteilung
deren Stammfunktion Φ wir in einer Tabelle nachschlagen können
(in jeder Formelsammlung).
Der Wert Φ(z) in der Tabelle gibt die
Wahrscheinlichkeit an, dass die normierte
Zufallsvariable Z ≤ z ist:
P(Z ≤ z) = Φ(z)
In manchen Tabellen sind nur die Werte für
positive z angeführt. Aus Symmetriegründen
ist
Φ(-z) = 1 - Φ(z)
Die Wahrscheinlichkeit, dass Z ≥ z ist
(Gegenereignis), beträgt
P(Z ≥ z) = 1 - Φ(z)
Die Wahrscheinlichkeit, dass Z zwischen
den Werten z1 und z2 liegt, beträgt
P(z1 ≤ Z ≤ z2) = Φ(z2) - Φ(z1)
Soll Z in einem symmetrischen Bereich (-z,
z) liegen, erhalten wir
P(-z ≤ Z ≤ z) = Φ(z) - Φ(-z) = 2Φ(z) - 1
Dieser Wert wird in manchen Tabellen als
D(z) angegeben.
Beispiel:
Eine Maschine erzeugt Nägel mit einer durchschnittlichen Länge von μ = 50 mm.
Die Länge der Nägel ist normalverteilt, die Standardabweichung beträgt σ = 2,5 mm.
a)
Wie viel Prozent aller Nägel sind kürzer als 48 mm?
Normierung: z = (48 - 50)/2,5 = -0,8
b)
P(X < 48) = Φ(-0,8) = 0,2119 = 21,19%
Wie viel Prozent aller Nägel sind länger als 51 mm?
z = (51 - 50)/2,5 = 0,4 P(X > 51) = 1 - Φ(0,4) = 0,3446 = 34,46%
c)
Wie viel Prozent aller Nägel sind zwischen 48 und 51 mm lang?
P(48 ≤ X ≤ 51) = Φ(0,4) - Φ(-0,8) = 0,4435 = 44,35%
d)
Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 10% kürzesten gehört?
Φ(z) = 0,1  z = -1,28
e)
x = 50 - 1,28·2,5 = 46,8  er darf höchstens 46,8 mm lang sein.
Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 20% längsten gehört?
1 - Φ(z) = 0,2  Φ(z) = 0,8  z = 0,84
x = 50 + 0,84·2,5 = 52,1  er muss mindestens 52,1 mm lang sein.
a.
In welchem symmetrischen Bereich (μ - ε, μ + ε) liegt die Länge von 90% aller
Nägel?
D(z) = 0,9  z = 1,64
x1 = 50 - 1,64·2,5 = 45,9, x2 = 50 + 1,64·2,5 = 54,1
90% aller Nägel sind zwischen 45,9 mm und 54,1 mm lang.
Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Wenn die Anzahl der Versuche sehr groß ist, wird die Berechnung der
Binomialverteilung zu aufwändig. Man kann sie dann näherungsweise durch die
Normalverteilung mit demselben μ und σ ersetzen.
(Faustregel: σ muss ≥ 3 sein.)
Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 300maligem Würfeln höchstens 40mal
Sechs zu werfen?
n = 300, p = 1/6  μ = 300·1/6 = 50, σ = √(300·1/6·5/6) = 6,45
z = (40 - 50)/6,45 = -1,55
P(X ≤ 40) = Φ(-1,55) = 0,0606
Die Annnäherung wird noch genauer, wenn man die Stetigkeitskorrektur
berücksichtigt.
Im Histogramm der Binomialverteilung reicht z.B. der Streifen, der X = 40 entspricht,
von 39,5 bis 40,5.
Für die Berechnung von P(X ≤ 40) nimmt man daher 40,5 als obere Grenze.
Für P(40 ≤ X ≤ 50) nimmt man die Grenzen 39,5 und 50,5.
Im obigen Beispiel erhält man mit Stetigkeitskorrektur:
z = (40,5 - 50)/6,45 = -1,47
P(X ≤ 40) = Φ(-1,47) = 0,0708