Normalverteilung Aufgaben 2

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Aufgaben
Normalverteilung
Aufgabe 1
Sei x = X (ω) eine standard-normalverteilte Zufallsvariable. Bestimme
a)
P(0 ≤ x ≤ 1.42)
b)
P(−1.37 ≤ x ≤ 2.01)
c)
P(|x| ≤ 0.5).
Aufgabe 2
Sei ω = {T : [0, 24] −→ R+ } der Tagesverlauf der Temperatur eines Ortes. Sei X die gemittelte Tagestemperatur der Tage im Juni. Sei X normalverteilt mit Mittelwert 20◦ C und Standartabweichung 3◦ C.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 21◦ C und 26◦ C liegt?
Aufgabe 3
Das Gewicht G von 800 Schülern ist normalverteilt mit Mittelwert 66 kg und Standartabweichung 5 kg.
Bestimme die Anzahl N von Schülern mit einem Gewicht zwischen 65 und 70 kg.
Aufgabe 4
Eine Laplace-Münze mit den Seiten 0 und l wird 12 mal geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass
die Anzahl der auftretenden Einsen zwischen 4 und 7 liegt. Benutze dazu
a) die Binomialverteilung,
b) die Approximation der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung.
Aufgabe 5
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl 3 höchstens 950 mal unter 10000 zufällig ausgewählten einstelligen Zahlen 0, 1, . . . , 9 vorkommt.
Aufgabe 6
Man braucht 1000 Schrauben. Eine Schraube ist mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.1 defekt. Wieviel
muss man bestellen, um mit 99% iger Sicherheit genügend gute Schrauben zu haben?
Aufgabe 7
Bestimme die kleinste Zahl k, so dass in 1600 Würfen einer Laplace-Münze die Wahrscheinlichkeit
mindestens 0.99 ist, dass die Anzahl der Erfolge in das Intervall [800 − k, 800 + k] fällt.
Aufgabe 8
Man misst die Länge von 10 Schoten einer gewissen Bohnensorte und erhält die folgenden Werte (in
cm):
10.5 11.2 9.2 8.7 9.8 7.9 11.4 7.9 10.4
Es wird für die Schotenlänge Normalverteilung angenommen. Ermittle näherungsweise µ und σ.
ZHAW
maro, 9. Januar 2012 Normalverteilung.tex
Lösungen
Normalverteilung
Aufgabe 1
a)
P(0 ≤ x ≤ 1.42) =
√1
2π
Z1.42 2
x
e− 2 dx = 0.4222
0
b)
P(−1.37 ≤ x ≤ 2.01) =
√1
2π
Z2.01
x2
e− 2 dx = 0.8925
−1.37
c)
P(|x| ≤ 0.5) = P(−0.5 ≤ x ≤ 0.5) =
Z0.5
2
x
√1
e− 2
2π
−0.5
dx = 0.3829.
Aufgabe 2
ϕ(x) =
√ 1 e−
2π·3
(x−20)2
2·9
.
Also
P(21 ≤ X ≤ 26) =
√1
2π·3
Z26
(x−20)2
e− 18 dx = 0.3467.
21
Aufgabe 3
ϕ(x) =
2
(x−66)
√ 1 e− 2·25
2π·5
.
Also
P(65 ≤ X ≤ 70) =
√1
2π·5
Z70
(x−66)2
e− 50 dx = 0.3674.
65
Somit
0.3674 · 800 = 294 Schüler.
Aufgabe 4
a) Mit Binomialverteilung:
P(4 ≤ X ≤ 7) = 0.512
12
12
12
12
+
+
+
4
5
6
7
= 0.7332.
b) Mit Approximation der Binomialverteilung durch Normalverteilung:
p
√
E(X ) = n · p = 12 · 0.5 = 6, Var(X) = np(1 − p) = 3.
Also
ϕ(x) =
√ 1 √ e−
2π· 3
(x−6)2
2·3
⇒
P(3.5 ≤ X ≤ 7.5) =
√ 1√
2π· 3
Z7.5
(x−6)2
e− 2·3 dx = 0.7323.
3.5
Aufgabe 5
Die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 3 ist p = 0.1. Sei X die Anzahl Dreier unter 10000 zufällig ausgewählten Zahlen 0, 1, . . . , 9, welche binomial verteilt ist.
p
µ = E(X ) = n · p = 1000, σ = np(1 − p) = 30. Approximation durch Normalverteilung:
P(0 ≤ X ≤ 950.5) =
√ 1
2π·30
950.5
Z
e−
(x−1000)2
1800
dx = 0.0495.
0
ZHAW
maro, 9. Januar 2012 Normalverteilung.tex
Aufgabe 6
Sei X die Anzahl guter Schrauben unter n zufällig ausgewählten Schrauben. X ist binomialverteilt mit
Wahrscheinlichkeit p = 0.9 für eine gute Schraube.
p
√
µ = E(X ) = n · p = 0.9n, σ = np(1 − p) = 0.3 n. Approximation durch Normalverteilung:
P(X ≥ 1000) = 0.99 =
√
Z∞
2
(x−0.9n)
1 √
e− 0.18n
2π·0.3 n
1000
Durch Einsetzen von verschiedenen Werten für n erhält man
(
Z∞
(x−0.9n)2
0.9893695998
−
1
0.18n dx =
√
√
e
2π·0.3 n
0.9916041899
dx
für n = 1137
für n = 1138.
1000
Also n = 1138.
Aufgabe 7
Sei X die Anzahl Erfolge unter 1600 Würfen einer Laplace-Münze. X ist binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit p = 0.5 für einen Erfolg.
p
µ = E(X ) = n · p = 800, σ = np(1 − p) = 20. Approximation durch Normalverteilung:
P(799.5 − k ≤ X ≤ 800.5 + k) ≥ 0.99
⇔
√ 1
2π·20
800.5+k
Z
e−
(x−800)2
800
dx ≥ 0.99.
799.5−k
Durch Einsetzen von verschiedenen Werten für k erhält man
√ 1
2π·20
800.5+k
Z
(x−800)2
− 800
e
799.5−k
(
0.9899759913
dx =
0.9913351033
für k = 51
für k = 52.
Also k = 52.
Aufgabe 8
Es gilt
µ=x=
1
10
10
X
xk = 9.6
σ2 = s2 =
k=1
1
9
10
X
k=1
(xk − x)2 = 1.6
⇒
σ=
√
1.6 = 1.26.
ϕ(x)
0.4
0.2
Also ϕ(x) =
ZHAW
2
− (x−9.6)
3.2
√ 1
e
2π·1.26
x [cm]
0
.
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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