Aufgaben Normalverteilung Aufgabe 1 Sei x = X (ω) eine standard-normalverteilte Zufallsvariable. Bestimme a) P(0 ≤ x ≤ 1.42) b) P(−1.37 ≤ x ≤ 2.01) c) P(|x| ≤ 0.5). Aufgabe 2 Sei ω = {T : [0, 24] −→ R+ } der Tagesverlauf der Temperatur eines Ortes. Sei X die gemittelte Tagestemperatur der Tage im Juni. Sei X normalverteilt mit Mittelwert 20◦ C und Standartabweichung 3◦ C. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 21◦ C und 26◦ C liegt? Aufgabe 3 Das Gewicht G von 800 Schülern ist normalverteilt mit Mittelwert 66 kg und Standartabweichung 5 kg. Bestimme die Anzahl N von Schülern mit einem Gewicht zwischen 65 und 70 kg. Aufgabe 4 Eine Laplace-Münze mit den Seiten 0 und l wird 12 mal geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass die Anzahl der auftretenden Einsen zwischen 4 und 7 liegt. Benutze dazu a) die Binomialverteilung, b) die Approximation der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung. Aufgabe 5 Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl 3 höchstens 950 mal unter 10000 zufällig ausgewählten einstelligen Zahlen 0, 1, . . . , 9 vorkommt. Aufgabe 6 Man braucht 1000 Schrauben. Eine Schraube ist mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.1 defekt. Wieviel muss man bestellen, um mit 99% iger Sicherheit genügend gute Schrauben zu haben? Aufgabe 7 Bestimme die kleinste Zahl k, so dass in 1600 Würfen einer Laplace-Münze die Wahrscheinlichkeit mindestens 0.99 ist, dass die Anzahl der Erfolge in das Intervall [800 − k, 800 + k] fällt. Aufgabe 8 Man misst die Länge von 10 Schoten einer gewissen Bohnensorte und erhält die folgenden Werte (in cm): 10.5 11.2 9.2 8.7 9.8 7.9 11.4 7.9 10.4 Es wird für die Schotenlänge Normalverteilung angenommen. Ermittle näherungsweise µ und σ. ZHAW maro, 9. Januar 2012 Normalverteilung.tex Lösungen Normalverteilung Aufgabe 1 a) P(0 ≤ x ≤ 1.42) = √1 2π Z1.42 2 x e− 2 dx = 0.4222 0 b) P(−1.37 ≤ x ≤ 2.01) = √1 2π Z2.01 x2 e− 2 dx = 0.8925 −1.37 c) P(|x| ≤ 0.5) = P(−0.5 ≤ x ≤ 0.5) = Z0.5 2 x √1 e− 2 2π −0.5 dx = 0.3829. Aufgabe 2 ϕ(x) = √ 1 e− 2π·3 (x−20)2 2·9 . Also P(21 ≤ X ≤ 26) = √1 2π·3 Z26 (x−20)2 e− 18 dx = 0.3467. 21 Aufgabe 3 ϕ(x) = 2 (x−66) √ 1 e− 2·25 2π·5 . Also P(65 ≤ X ≤ 70) = √1 2π·5 Z70 (x−66)2 e− 50 dx = 0.3674. 65 Somit 0.3674 · 800 = 294 Schüler. Aufgabe 4 a) Mit Binomialverteilung: P(4 ≤ X ≤ 7) = 0.512 12 12 12 12 + + + 4 5 6 7 = 0.7332. b) Mit Approximation der Binomialverteilung durch Normalverteilung: p √ E(X ) = n · p = 12 · 0.5 = 6, Var(X) = np(1 − p) = 3. Also ϕ(x) = √ 1 √ e− 2π· 3 (x−6)2 2·3 ⇒ P(3.5 ≤ X ≤ 7.5) = √ 1√ 2π· 3 Z7.5 (x−6)2 e− 2·3 dx = 0.7323. 3.5 Aufgabe 5 Die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 3 ist p = 0.1. Sei X die Anzahl Dreier unter 10000 zufällig ausgewählten Zahlen 0, 1, . . . , 9, welche binomial verteilt ist. p µ = E(X ) = n · p = 1000, σ = np(1 − p) = 30. Approximation durch Normalverteilung: P(0 ≤ X ≤ 950.5) = √ 1 2π·30 950.5 Z e− (x−1000)2 1800 dx = 0.0495. 0 ZHAW maro, 9. Januar 2012 Normalverteilung.tex Aufgabe 6 Sei X die Anzahl guter Schrauben unter n zufällig ausgewählten Schrauben. X ist binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit p = 0.9 für eine gute Schraube. p √ µ = E(X ) = n · p = 0.9n, σ = np(1 − p) = 0.3 n. Approximation durch Normalverteilung: P(X ≥ 1000) = 0.99 = √ Z∞ 2 (x−0.9n) 1 √ e− 0.18n 2π·0.3 n 1000 Durch Einsetzen von verschiedenen Werten für n erhält man ( Z∞ (x−0.9n)2 0.9893695998 − 1 0.18n dx = √ √ e 2π·0.3 n 0.9916041899 dx für n = 1137 für n = 1138. 1000 Also n = 1138. Aufgabe 7 Sei X die Anzahl Erfolge unter 1600 Würfen einer Laplace-Münze. X ist binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit p = 0.5 für einen Erfolg. p µ = E(X ) = n · p = 800, σ = np(1 − p) = 20. Approximation durch Normalverteilung: P(799.5 − k ≤ X ≤ 800.5 + k) ≥ 0.99 ⇔ √ 1 2π·20 800.5+k Z e− (x−800)2 800 dx ≥ 0.99. 799.5−k Durch Einsetzen von verschiedenen Werten für k erhält man √ 1 2π·20 800.5+k Z (x−800)2 − 800 e 799.5−k ( 0.9899759913 dx = 0.9913351033 für k = 51 für k = 52. Also k = 52. Aufgabe 8 Es gilt µ=x= 1 10 10 X xk = 9.6 σ2 = s2 = k=1 1 9 10 X k=1 (xk − x)2 = 1.6 ⇒ σ= √ 1.6 = 1.26. ϕ(x) 0.4 0.2 Also ϕ(x) = ZHAW 2 − (x−9.6) 3.2 √ 1 e 2π·1.26 x [cm] 0 . 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 maro, 9. Januar 2012 Normalverteilung.tex