Normalverteilung ∑ ∑ ∫=

Normalverteilung
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Allgemeines
Zufällige Fehler bei Messungen, aber auch Schwankungen der Eigenschaften von Werkstücken oder
Produkten innerhalb einer Produktionsreihe sind oft normalverteilt. Diese Verteilung ergibt sich u.a., wenn
sich sehr viele gleichverteilte kleine Störungen addieren.
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Definition
 x – x 2
1 – ------------------g  x  = ------------- e 2s 2 . Die Parameter x und s heissen Erwartungswert und Standardabweichung. Oft
s 2
wird auch anstelle der Standardabweichung s deren Quadrat, die sogenannte Varianz, angegeben..
0.8
0.6
s
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
Beispiel: Verteilungs(dichte)funktion für s = 0.5 und x = 3.
3
Parameter aus den Daten gewinnen
Für eine hinreichend große Zahl n von Messungen xi erhält man die Parameter der Normalverteilung wie
folgt aus den Daten:
1
x = --n
4

n
xi , s =
i=1
1
--n

n
 x i – x  2 . Das Quadrat von s nennt man Streuung.
i=1
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Meßwert im Intervall [x1, x2] liegt, beträgt W  x 1 x 2  =
x2

g  x  dx
x1
5
Standardnormalverteilung
Die Parameter x = 0 und s = 1 definieren die sogenannte Standardnormalverteilung. Durch die lineare
Transformation
x–x
x 0 = -----------s
kann jede beliebige Normalverteilung (Werte x) auf die Standardform (Werte xo) gebracht werden und der
Wert des Integrals einer entsprechenden Tabelle entnommen werden.
Normalverteilung
(1/1)
A. Kilian