Normalverteilung

Benutzung der Normalverteilung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
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Weiß man, dass eine Zufallsgröße normalverteilt ist, so kann man die
Normalverteilung oder die Standardnormalverteilung zur Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten heranziehen.
Beispiele: Ist eine Zufallsgröße binomialverteilt, so kann man die
zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Normalverteilung berechnen,
wenn n groß genug ist oder p=0,5 ist (s. dazu die ausgegebene Photokopie).
Aber auch in anderen Fällen kann es sein, dass man mit einiger Sicherheit
davon ausgehen kann, dass die Zufallsgröße normalverteilt ist. Z.B. sind
praktisch alle biologischen Größen normalverteilt.
Aber auch bei einer Zufallsgröße: Summe der Augenzahlen von 7 Würfeln kann
man ohne weiteres annehmen, dass sie normalverteilt ist. Das hat folgenden
Grund: Augensumme bei 1 Würfel ist gleichverteilt, Augensumme von zwei
Würfeln ist dreiecksverteilt, Augensumme mit 3 Würfeln ist quadratisch
verteilt, usw. je mehr Würfel verwendet werden für die Bildung der
Augensumme, desto näher rückt die Verteilung an eine Normalverteilung
heran. Eine Berechnung zu diesem Beispiel soll weiter unten vorgenommen
werden.
Erläuterung des Verfahrens:
Jede beliebige Normalverteilung ist durch ihren Erwartungswert µ und ihre
Varianz σ gekennzeichnet. Die Funktionsgleichung für eine Normalverteilung
lautet:
n(x) =
1
σ 2π
−12(
e
x−µ 2
σ
)
Zum Vergleich einer Binomialverteilung und der entsprechenden
Normalverteilung s. die beigefügte Kopie.
Nun soll von dieser Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden:
Die Binomialverteilung hat die Parameter n=80 und p=0,25 oder µ = n*p = 20
σ = 3,87298. Letztere werden für die Normalverteilung übernommen.
define nv(m,s,x1,x2)=Int(1/s/Wurzel(2*Pi)*e^(-0.5*((x-m)/s)^2),x,x1,x2)
Dann ist P(X=15)=nv(20,3.87298,14.5,15.5) = 0.0448
bd(80,0.25,15) = 0.0468
Wie man sieht ist selbst die Näherung für einen ganz bestimmten Wert schon
recht gut.
Nun ein Beispiel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit 7 Würfeln die
Augensumme 19, 20 oder 21 zu werfen, also P(19 ≤ X ≤ 21) = ?
µ=3,5 und σ2=2,917 für Augensumme von 1 Würfel, dann gilt µ=24,4 und
σ2=20,42 und damit σ=4,518.
Damit errechnet sich p(19 ≤ X ≤ 21) = nv(24.4,4.518,18.5,21.5) = 0,1613.
Das wahre p(19 ≤ X ≤ 21) = (12117 + 15267 + 18327)/67 = 0,1633.
Beachte die Integrationsgrenzen!!