Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße

Begriff der Zufallsgröße
Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:
Beispiele:
• Punkte beim Werfen zweier Würfel
• Zeit beim Warten auf den Bus
• Ja= 1 nein = 0
Formal Abbildung:
Im Beispiel:
X : 
2x Würfel!!!!
(1,1)  2
(1,2)  3
( 2,1)  3
Zuordnung:
2-maliges Würfeln -> Augensumme
( 2,2)  4
Folie 1
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten
Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen
benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Sie ist definiert als f ( x)  P ( X  x) .
Im Beispiel:
P( X  1)  0
P( X  2)  1 / 36
P( X  3)  2 / 36
P( X  4)  3 / 36
Die Augensumme 1 mit der
Wahrscheinlichkeit …
Die Augensumme 2 mit der
Wahrscheinlichkeit …
Die Augensumme 3 mit der
Wahrscheinlichkeit …
Die Augensumme 4 mit der
Wahrscheinlichkeit …
Folie 2
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten
Zufallsgröße
f
Folie 3
Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt
man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine
Zufallsgröße X definiert als F ( x)  P ( X  x)
Im Beispiel:
P( X  1)  0
P ( X  2)  1 / 36
Die Augensumme bis maximal 1
wird mit der Wahrscheinlichkeit …
Die Augensumme bis maximal 2
wird mit der Wahrscheinlichkeit …
P( X  3)  (1  2) / 36
P( X  4)  (1  2  3) / 36
usw.
Folie 4
Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen
X sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen
Werten x1 ,...x n .
Dann sind der Erwartungswert E ( X ) und die Varianz V ( X )
wie folgt definiert:
n
E ( X )  µ   xi P( X  xi )
i 1
n
V ( X )   ( xi  µ)  P( X  xi )
Mittelwertbestimmung
„Quadratischer Abstand“
i 1
 E ( X ²)  E ( X )²
 x  V (X )
„mittlere Abweichung“
Folie 5
Beispiel: Einfacher Würfel
Welche durchschnittliche Punktzahl wird
geworfen/erreicht?
1
1
1
1
1
1
E ( X )  *1  * 2  * 3  * 4  * 5  * 6  3.5
6
6
6
6
6
6
Wie groß ist dazu die durchschnittliche quadr. Abweichung?
1
1
1
2
2
V ( X )  * (1  3.5)  * (2  3.5)  * (3  3.5) 2 
6
6
6
1
1
1
2
2
* (4  3.5)  * (5  3.5)  * (6  3.5) 2  2.9
6
6
6
Wie groß ist der mittlere Abweichung?  X  2.9  1.7
Folie 6
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Merke:
Folie 7
Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable
a und b):
X gilt (mit beliebigen Konstanten
E (a  b  X )  a  b  E ( X )
V (a  b  X )  b 2  V ( X )
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Folie 8
Prüfungsaufgabe:
Folie 9
Lösung der Prüfungsaufgabe:
Folie 10