Vortrag

Vorbereitungsseminar zum
fachdidaktischen Blockpraktikum
WS 2009/10
Seminarleiterin: Frau StDin Homberg-Halter
Seminarsitzung:
Oberstufe Stochastik
-Planung einer UnterrichtsstundeModeratorin: Andrea Schneider
Thema:
Erwartungswert einer
Zufallsgröße
Gliederung
Einordnung in den Lehrplan
 Lernvoraussetzungen
 Beispiel einer Einführung
 Gruppenarbeit
 Weiteres Beispiel eines Tafelbildes

Einordnung in den Lehrplan

Klasse 5:
Baumdiagramme:
als Zählhilfen z. B. Menüzusammenstellungen,
Kleiderkombinationen
Einordnung in den Lehrplan

Klasse 7: Einführung in die Stochastik:
–
–
–
–
Zufallsexperimente
Klasse 5:Mengen und Elemente, Baumdiagramme,
einfache Zählverfahren
Klasse 6: Mittelwerte
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
 Klasse 7:Prozentrechnung
Ereignisse
Laplace-Experiment
Einordnung in den Lehrplan

Klasse 9: (10 Stunden)
-Mehrstufige Zufallsexperimente
erste/zweite Pfadregel
-Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Einordnung in den Lehrplan

Mathe G-Kurs:
1.
2.
Wahrscheinlichkeiten: (15 Stunden)
Umgang mit der Symbolik, Modellieren von
Zufallsexperimenten
Zufallsgrößen: (13 Stunden)
diskrete Zufallsgröße, charakteristische
Größen, Binomialverteilung
Einordnung in den Lehrplan

Mathe E-Kurs:
1.
2.
Wahrscheinlichkeiten: (15 Stunden)
Umgang mit der Symbolik, kombinatorische
Zählverfahren, Modellieren von
Zufallsexperimenten
Zufallsgrößen: (15 Stunden)
diskrete Zufallsgrößen, charakteristische
Größen, Binomialverteilung
Lernvoraussetzungen zur Einführung
des Erwartungswertes
Relative/absolute Häufigkeit
 Baumdiagramm (Pfadregel)
 Wahrscheinlichkeitsverteilung
 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten,
Kombinatorik und die Einführung von
Zufallsgrößen

Lernvoraussetzungen zur Einführung
des Erwartungswertes
1.
2.
3.
Eine Zuordnung X: Ω→R, die jedem Ergebnis eines
Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet, heißt
Zufallsgröße oder Zufallsvariable.
Mit X=xi wird das Ereignis bezeichnet, zu dem alle
Ergebnisse des Zufallsversuches gehören, deren Eintritt
dazu führt, dass die Zufallsgröße den Wert xi annimmt.
Ordnet man jedem möglichen Wert xi, den die
Zufallsgröße annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit
P(X=xi) zu, mit der sie diesen Wert annimmt, so erhält
man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer
Zufallsgröße
Beispiel: Augensumme beim 2fachen Würfeln
Augensumme Zugehörige Ergebnisse
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11
12, 21
13, 22, 31
14, 23, 32, 41
15, 24, 33, 42, 51
16, 25, 34, 43, 52, 61
26, 35, 44, 53, 62
36, 45, 54, 63
46, 55, 64
56, 65
66
Wahrscheinlichkeit für
Augensumme k
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Zufallsgröße X
Die Wahrscheinlichkeit P (X=5) gibt die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X=5 an.
 Das Ereignis X=5 enthält alle Ergebnisse xi für die
X= 5 gilt:
((1,4); (2,3); (3,2); (4,1))
 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/36 würfelt
man beim 2fachen Würfeln die Augensumme 5:
P(X=5) = 4/36

Erwartungswert

X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge x = x1
... + xn. Dann heißt die Zahl
n
  E ( X )   xi  P ( X  xi )
i 1
Erwartungswert der Zufallsgröße X.
Erwartungswert

Erwartungswert beim 2fachen Würfeln, d.h. welche
Augensumme wird im Mittel erwartet:
E( X )  2 

1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
 3   4   5   6   7   8   9   10   11  12   7
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
Das heißt beim 2fachen Würfeln wird im Mittel die
Augensumme 7 erwartet.
Gruppenarbeit

Auftrag:
Jede Gruppe erarbeitet eine
Einführungsunterrichtsstunde zum Thema
„Erwartungswert einer Zufallsgröße“
inklusive Tafelbild.
–
–
–

Gruppe A: enaktiver Zugang über ein Glücksspiel
Gruppe B: mittels Beispiel aus Alltag/Physik
Gruppe C: mittels Beispiel aus Industrie/ Wirtschaft
Anschließende Präsentation der Unterrichtsstunden
Beispiel einer Unterrichtsstunde zur
Einführung des Erwartungswertes
Wie viele Personen
wohnen im Schnitt in
einer Wohnung/Haus der
Schüler dieses Kurses?
Erwartungswert einer Zufallsgröße
Welche Augensumme erwartet man im
Mittel beim 2fachen Würfeln?
Verteilung der Zufallsgröße:
 2·1/36+ 3·2/36 + 4·3/36 + 5·4/36 +
20 Schüler:
6·5/36 + 7·6/36 + 8·5/36 + 9·4/36 +
Pers./Whg:
3 4 5 6
10·3/36 + 11·2/36 + 12·1/36 = 7
Anz.Schüler: 4 8 6 2
Definition (Erwartungswert):
Kann eine Zufallsgröße X die Werte
Durchschnittliche Anzahl x1,x2,…, xn annehmen, dann heißt die
von Personen pro
Summe von Produkten
n
Wohnung:
  E( X ) 
x  P( X  x )

i 1
3 4  4 8  5 6  6  2
 4,3
20
i
i
Erwartungswert einer Zufallsgröße und
wird mit E(X) bzw. µ bezeichnet.
Aufgabe:
Eine Münze wird
fünfmal geworfen. Die
Zufallsgröße X ist die
Anzahl der
Kopfwürfe.
a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X auf.
b) Bestimme den
Erwartungswert von
X.
Vielen Dank für eure
Aufmerksamkeit!
Quellenangaben
„Einführung in die beurteilende Stochastik“,
Strick
 „Mathematik“; Analytische GeometrieStochastik von Bigalke/ Köhler, CornelsonVerlag
