4. Zufallsgrößen

4. Zufallsgrößen
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4.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Beispiel :
Experiment : Dreimaliges Werfen einer Münze


Ergebnismenge: Ω = ZZZ, ZZK, ZKZ, KZZ, ZKK, KZK, KKZ, KKK


Zufallsgröße: X : Ω → R mit X : ω → Anzahl der geworfenen K`s
Wertetabelle von X :
ω
ZZZ
ZZK
ZKZ
KZZ
ZKK
KZK
KKZ
KKK
x = X(ω)
0
1
1
1
2
2
2
3


d.h. die Wertemenge von X ist WX = 0, 1, 2, 3 .


Jeder Wert x von X wird mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit P(X = x) angenommen.
Aus obiger Tabelle ergibt sich
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
Die mittlere Anzahl der K's pro Versuch ergibt sich zu 0⋅
3
3
1
1
+ 1⋅ + 2⋅ + 3⋅ = 1,5 und
8
8
8
8
heißt Erwartungswert von X.
Sei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Eine Funktion, die jedem Ergebnis
eine reelle Zahl zuordnet heißt eine Zufallsgröße auf Ω.
Ist WX die Wertemenge von X und x ∈ WX, dann ist PX = x die Wahrscheinlichkeit, dass


die Zufallsgröße A den Wert x annimmt.


Ist WX = x1; x2: ....; xmdie Wertemenge von X, dann heißt


E(X) = µ = x1⋅P(X = x1) + x2⋅P(X = x2) + .... + xm⋅P(X = xm)
Erwartungswert der Zufallsgröße X.
Veranschaulichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße :
1. Strichdiagramm
Strichdiagramm
P(X=x)
3/8
2/8
1/8
0
1
2
x
3
2. Histogramme
P(X=0)
0
P(X=3)
1
2
3
P(X=0)
P(X=1) P(X=2)
P(X=3)
P(X=1)
Histogramm
P(X=2)
.
0
1
2
3
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1.2 Die Verteilungsfunktion
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Beispiel :
Experiment: Einmaliges Werfen zweier L-Würfel
Zufallsgröße X: Augensumme
Wahrscheinlichkeitsverteilung :
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PX = x


PX ≤ x


1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
1
36
3
6
6
36
10
36
15
36
21
36
26
36
30
36
33
36
35
36
36
36
Die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 5), dass die gewürfelte Augensumme höchstens 5 ist, dann
gegeben durch
3
1
21
−
= .
P(4 ≤ X ≤ 7) = PX ≤ 7 − PX ≤ 3 =




2
36 36
Sei X eine auf der Ergebnismenge Ω definierte Zufallsgröße. Dann heißt die Funktion
F:R→R
F : x → F(x) = P(X ≤ x)
die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.
Graph der Verteilungsfunktion des Beispiels :
F(x)
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
x
1.3 Varianz und Streuung
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gegeben seien die Zufallsvariablen X, Y und Z mit den Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4
x
P(X = x) 0,1
5
6
0,8
0,1
4
y
P(Y = y) 0,3
5
6
0,4
0,3
1
z
5
P(Z = z) 0,1
8
0,8 0,1
Strichdiagramme :
P(Y=y)
P(X=x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
P(Z=z)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 z
Aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben alle drei Zufallsgrößen
den gleichen Erwartungswert 6.
Trotzdem ist bei der Ausführung der zugehörigen Experimente die Wahrscheinlichkeit für
eine Abweichung vom Erwartungswert bei den Zufallsgrößen Y und Z größer als bei der
Zufallsgröße X.
Diese Verschiedenartigkeit der Verteilungen charakterisiert man durch die Varianz einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
X sei eine Zufallsgröße mit dem


Erwartungswert µ = E(X) und der Wertemenge WX = x1; x2; ....; xm


Dann nennt man
Var(X) = (µ − x1)2⋅ P(X = x1) + (µ − x2)2⋅ P(X = x2) + .... + (µ − xm)2⋅ P(X = xm)
die Varianz und
σ =
Var(X)
die Standardabweichung (Streuung) von X.
Aufgabe in der Handreichung
Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Wappen erscheint, jedoch höchstens
dreimal. Die Anzahl der Würfe bis zum Spielende sei die Zufallsgröße A.
Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von A.
Lösung
Wahrscheinlichkeitsverteilung von A
a
P(A = a)
1
0,5
2
0,25
3
0,25
E(A) = 1⋅0,5 + 2⋅0,25 + 3⋅0,25 = 1,75
Var(A) = (1 − 1,75)2⋅0,5 + (2 − 1,75)2⋅0,25 + (3 − 1,75)2⋅0,25 = 0,375
σ =
3,75 = 0,5⋅ 15
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Aufgabe in der Handreichung
Eine Zufallsgröße kann 5 unterschiedliche Werte annehmen.
Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung an, so dass der Erwartungswert zwischen dem
kleinsten und dem zweitkleinsten Wert der Zufallsgröße liegt.
Lösung
Sei x1 < x2 < x3 < x4 < x5.
Man zeigt, dass eine Verteilung
xi
P(X = xi)
x1
a
x2
a
x3
b
x4
b
x5
b
mit 2a + 3b = 1 und E(X) =
x 1 + x2
möglich ist.
2
x1⋅a + x2⋅a + x3⋅b + x4⋅b + x5⋅b =
a⋅(x1 + x2) + b⋅(x3 + x4 + x5) =
a⋅(x1 + x2) +
1
⋅(x + x )
2 1 2
1 − 2a
1
⋅(x3 + x4 + x5) = ⋅(x1 + x2)
3
2
3a⋅(x1 + x2) − 2a⋅(x3 + x4 + x5) =
3a⋅(x1 + x2) − 2a⋅(x3 + x4 + x5) =
=
1
⋅(x + x )
2 1 2
3
⋅(x + x ) − (x3 + x4 + x5)
2 1 2
3
2 ⋅(x1 + x2) − (x3 + x4 + x5)
3(x1 + x2) − 2⋅(x3 + x4 + x5)
=
2⋅(x3 + x4 + x5) − 3⋅(x1 + x2)
4⋅(x3 + x4 + x5) − 6⋅(x1 + x2)
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Aufgabe in der Handreichung
Die Abbildung zeigt den Gewinnplan des Gewinnspiels"Bayernlos" mit zusätzlichen Hinweisen, die sich auf jedem Los finden. Im mathematischen Sinn handelt es sich bei diesem Gewinnplan um einen Auszahlungsplan; bei einer Auszahlung von z. B. 10 € und einem Lospreis
von 1 € beträgt der Reingewinn des Spielers 9 €.
a) Zeigen Sie, dass die W'keit für einen "Hauptgewinn" (250000 €) beim Bayernlos größer ist
als die Wahrscheinlichkeit für "6 Richtige" im Lotto "6 aus 49".
Kann man allein aus dieser Information ableiten, dass es besser ist, Bayernlose zu kaufen,
als im Lotto zu spielen? Erläutern Sie Ihre Antwort.
b) Erklären Sie, wie man aus den in den Abbildungen gegebenen Informationen den Erwartungswert der Zufallsgröße "Reingewinn für den Spieler" beim Ziehen eines Bayernloses
berechnen kann, wenn man davon ausgeht, dass alle Lose einer Auflage verkauft werden.
c) Auf Plakaten an Losständen des Gewinnspiels"Bayernlos" ist zu lesen, dass in jeder vollständig verkauften Auflage etwa 27 Millionen Euro an die Spieler ausgezahlt werden.
Bestätigen Sie mithilfe dieser Information nachvollziehbar, dass der Erwartungswert der
Zufallsgröße Reingewinn − 0,55 € ist.
Erklären Sie einem stochastischen Laien, was dieser Zahlenwert im Anwendungszusammenhang bedeutet.
Lösung
a) pBayernlos =
pLotto =
10
1
=
6000000
6000000
6
 
6
49
 
6
=
1
13983816
b) Reingewinn = Ausgezahlte Gewinne - 60000000 €
c)
27000000 € − 60000000 €
= − 0,55 €
60000000
Eine Spieler verliert im Durchschnitt 0,55 €.
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Aufgabe in der Handreichung
In einem Glücksspiel mit einem Glücksrad der abgebildeten Art
soll bei einmaligem Drehen der Erwartungswert der Auszahlung
1,50 € betragen.
Die Auszahlungsbeträge sind jeweils eingetragen.
a) Berechnen Sie, wie groß dazu die Mittelpunktswinkel der
Sektoren gewählt werden müssen, die zu den Auszahlunggen 0 € und 4 € gehören.
b) Bestimmen Sie die Standardabweichung der Zufallsgröße Auszahlung.
Lösung
a) (1) a + b = 120
(2) 4⋅
a
60
60
120
+ 3⋅
+ 2⋅
+ 1⋅
= 1,5
360
360
360
360
b) Var(A) = (0 − 1,5)2⋅
⇒
a = 30
⇒
b = 90
1
1
1
1
1
19
+ (4 − 1,5)2⋅
+ (3 − 1,5)2⋅ + (2 − 1,5)2⋅ + (1 − 1,5)2⋅ =
4
12
6
6
3
12
19
1
19
=
12
3
2
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σ =
Aufgabe in der Handreichung
Ein Zeitschriftenladen bezieht pro Woche 3 Exemplare einer wenig verlangten Fahrradzeitschrift.
Pro Exemplar bezahlt der Besitzer 1,30 € und verkauft es für 2,70 €. Unverkaufte Fahrradzeitschriften entsorgt er, sobald er die neuen Exemplare erhält. Aus Erfahrung weiß er:
Nachfrage pro Woche
Wahrscheinlichkeit
0
0,2
1
0,3
2
0,3
3
0,1
>3
0,1
Lohnt sich der Verkauf der Fahrradzeitschrift auf lange Sicht?
Lösung
E(R) = 2,70⋅0,3 + 5,40⋅0,3 + 8,10⋅0,2 − 3⋅1,30 = 0,15
Auf lange Sicht lohnt der Verkauf.
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Aufgabe in der Handreichung
In der Klasse 10 C wurden eine Deutsch- und eine Mathematikschulaufgabe geschrieben.
Die Zufallsgrößen D bzw. M ordnen einem zufällig ausgewählten Schüler seine Note in der
Deutsch- bzw. Mathematikschulaufgabe zu.
Dabei ergaben sich folgende Beziehungen:
Für die Erwartungswerte der beiden Zufallsgrößen gilt E(D) = E(M) und für die Varianzen
gilt Var(D) < Var(M).
Erklären Sie anschaulich, was diese beiden Beziehungen für die Verteilung der Einzelnoten
bedeuten
Lösung
Die Durchschnittsnote in beiden Schulaufgabe sind gleich. Die Streuung der Mathematiknoten ist größer.
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