Übungsblatt 6

Höhere Mathematik 3: Stochastik (HM II.2 für MB, II für AP)
Prof. Dr. I. Veselić
Übungsblatt 6
21.11.2011
http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/stochastik/teaching/StochastikMBWS2011/index.de.php
1. Sei X eine stetige Zufallsgröße, a, b ∈ R. Zeigen Sie:
(a) E(aX + b) = aE(X) + b,
(b) Var(aX + b) = a2 Var(X).
2. Gegeben sei die Funktion


0 , x < 1,
f (x) = cx , 1 ≤ x ≤ 2,


0 , x > 2.
(a) Bestimmen Sie c ∈ R so, dass f Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.
(b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von X.
3. Die Zeitdauer für die Reparatur einer speziellen Maschine sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit einem Erwartungswert von vier Stunden.
Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
(a) die Reparaturzeit zwei Stunden nicht übersteigt,
(b) die Reparaturzeit zwischen zwei und sechs Stunden liegt.
4. Die Montagezeit für Schaltelemente sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße X. Bekannt
sei, dass im Mittel fünf Schaltelemente je Stunde montiert werden.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
(a) die Montagezeit für ein Schaltelement einen Wert von 12 Minuten nicht übersteigt,
(b) innerhalb einer Stunde höchstens drei Schaltelemente montiert werden können,
(c) innerhalb einer Stunde fünf oder sechs Schaltelemente montiert werden können.
5. Bei der Herstellung von Widerständen sei der ohmschen Widerstand eine normalverteilte
Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ = 990 Ω und der Standardabweichung σ = 20 Ω.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der tatsächliche Wert eines Widerstandes zwischen 950 Ω und 1050 Ω liegt.
(b) Durch Verbesserung des Herstellungsverfahrens wird der mittlere Widerstand auf 1000 Ω
vergrößert. Wie hoch ist dann der Anteil der Widerstände, deren Wert nicht in dem unter
(a) angegebenen Toleranzintervall liegt?
(c) Für den Einbau in Präzisionsgeräte sind Widerstände im Bereich zwischen 990 Ω und
1010 Ω erforderlich. Wie groß darf σ maximal sein, wenn unter Beibehaltung des Erwartungswertes µ = 1000 Ω durchschnittlich 90% der gefertigten Widerstände die Bedingungen für den Einbau erfüllen sollen?