Stochastik II Stochastische Prozesse

Stochastik II
Stochastische Prozesse
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. U. Rösler
C. Kleinschmidt
Blatt 2
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Seien X,Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und F
eine Unter-σ-Algebra von A.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind
R
R
1. A XdP ≥ A Y dP für alle A ∈ F,
2. E(X|F) ≥ E(Y |F) fast sicher.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Sei ν das Zählmaß auf (N0 , Pot(N0 )) und
A0 = {A ⊂ N0 | ∀n ∈ N0 : 2n ∈ A ⇔ 2n + 1 ∈ A}.
Zeigen Sie, dass A0 eine Unter-σ-Algebra ist, und bestimmen Sie für eine
ν-integrierbare Zufallsgröße X den bedingten Erwartungswert E(X|A0 ).
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien A0 , A1 Unter-σ-Algebren
von A und sei C = σ(A0 , A1 ) die von A0 und A1 erzeugte σ-Algebra und X
eine integrierbare Zufallsgröße. Zeigen Sie:
Ist die von X und A0 erzeugte σ-Algebra σ(X, A0 ) unabhängig von A1 , so
gilt
E(X|C) = E(X|A0 ).
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Sei µ ein σ-endliches Maß auf (R, BR ) und T : R → R eine messbare Abbildung mit der Eigenschaft, dass µT σ-endlich ist und µT µ gilt. Zeigen
Sie
1. Es existiert eine stetige lineare Abbildung FT : L1 → L1 so, dass für
alle f ∈ L1 gilt
Z
Z
FT (f )dµ =
f dµ für alle A ∈ BR ,
A
T −1 (A)
2. eine Abbildung f ∗ ∈ L1 mit ||f ∗ ||L1 = 1 und f ∗ ≥ 0 ist genau dann
ein Fixpunkt von FT , wenn ν definiert ist durch
Z
ν(A) =
f ∗ dµ für alle A ∈ BR
A
ein T-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß ist.
Hinweis: Satz von Radon-Nikodym.
Aufgabe 5 (4 Punkte)
1. Sei φ eine konvexe Funktion und µ ein Maß auf den reellen Zahlen.
Seien f , g messbare Funktionen und sei g integrierbar und überall
strikt positiv. Dann gilt, Wohldefiniertheit vorausgesetzt,
R
R
gφ( fg )dµ
f dµ φ R
≤ R
.
gdµ
gdµ
2. (Hölder Ungleichung) Benutzen Sie das vorherige Ergebnis um Folgendes nachzuweisen:
1 1
Sei 1 < p < ∞ und q definiert durch + = 1. Für messbare Funkp q
tionen f , g gilt
||f g||1 ≤ ||f ||p ||g||q .
1
Hinweis: φ(x) = −x p
Abgabe bis Freitag, den 21.11.2014, 10.15 Uhr im Postfach „Kleinschmidt“ im
3. Stock.