Analysis 3 für Mathematiker und Wirtschaftsmathematiker

Analysis 3 für Mathematiker und Wirtschaftsmathematiker
Übungsblatt 8 vom 28.11.2012
Die Aufgaben werden immer am Mittwoch gestellt und sind am Mittwoch
der darauf folgenden Woche vor der Vorlesung abzugeben. (Andere Abgaben
in Briefkästen oder nach der Vorlesung usw. werden nicht anerkannt und
gehen nicht in die Wertung ein.) Es müssen mindestens 50% aller möglichen
Punkte erreicht werden, um den Übungsschein zu erhalten. Alle Lösungen
sind zu begründen, ansonsten erfolgt Abzug eventuell aller Punkte.
Auf jede (Teil-)Aufgabe gibt es 0 Punkte (Aufgabe nicht oder fast nicht
gelöst.), 1 Punkt (Aufgabe unvollständig gelöst.) oder 2 Punkte (Aufgabe
(nahezu) vollständig gelöst.)
Werten Sie Ihre Lösungen aus während und nach der Rückgabe
sowie der Diskussion im Seminar!! Dies gilt besonders, wenn Ihre
Lösungen falsch sind.
36.
a) Es sei X = R1 und A1 = {0} sowie A2 = [1, 2] seien Teilmengen
von X. Bestimmen Sie die kleinste σ-Algebra A über X, die A1
und A2 enthält. (Anzahl und Darstellung der Elemente.)
b) S sei das System aller Teilmengen von R1 der Gestalt ]−∞, a[ für
alle a ∈ R1 . Bestimmen Sie die kleinste σ-Algebra, die S enthält.
37.
a) Beweisen Sie, dass der Durchschnitt eines Systems von σ-Algebren
wieder eine σ-Algebra ist.
b) Beweisen Sie, dass Aσ (S) die kleinste σ-Algebra ist, die S enthält.
c) Zeigen Sie: Ist S eine σ-Algebra, so gilt Aσ (S) = S
d) Zeigen Sie: Aus S ⊆ T folgt Aσ (S) ⊆ Aσ (T).
38. Die Cantorsche Drittelmenge ist wie folgt definiert: man unterteilt das
Intervall [0, 1] in drei gleich lange Intervalle und löscht das offene mittlere Intervall. Mit den beiden verbleibenden abgeschlossenen Intervallen verfährt man analog und setzt diesen Prozess immer weiter fort.
Die auf diese Weise entstehende Menge ist die Cantor-Drittel-Menge
C.
a) Zeigen Sie: C ist abgeschlossen und kompakt.
b) Berechnen Sie das Lebesgue-Maß von C.
c) Stellen Sie die Menge C mittels Ternärdarstellung reeller Zahlen
aus [0, 1] dar. (Also Dezimalbruchdarstellung zur Basis 3.)
d) Zeigen Sie: C besitzt keine inneren Punkte.
39.
a) Zeigen Sie, dass das Lebesgue-Maß invariant unter Translationen
ist.
b) Beweisen Sie, dass die σ-Algebra der Borelmengen des Rn , also
B(Rn ), sowohl durch die abgeschlossenen Mengen des Rn erzeugt
wird als auch durch die offenen Quader des Rn .
c) Beweisen Sie, dass das äußere Lebesguesche Maß ein metrisches
Maß ist.
40. Sei (xn )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Sei für eine Borelmenge A
(
1 wenn a ∈ A
δa (A) =
0 falls a ∈
/A
Zeigen Sie: Durch
µ(A) :=
∞
X
δxn (A)
n=1
wird ein Maß auf B(R1 ) definiert. Wann ist das Maß beschränkter
Intervalle endlich? Wann ist µ σ-endlich?