"2 + ---n- "2 + 1 - Stochastik in der Schule

3 (1983)
-
46 -
- 47 -
DREHEN WIR DEN SPIESS UM
n(n+1) mit X
2
i
von C. A. Beam, Iowa State University
Originaltitel in 'Teaching Statistics', Vol. 4 (1982)
=
Um nun E(X)
Nr. 3: Putting the Shoe on the Other Foot
i
(n+1)/2 induktiv zu beweisen, zeigen wir
zunächst den -InduktionsSChritt":
Ubersetzung: B. Wollring
Ist X eine diskrete Zufallsgröße mit der Wahrschein-
Dargestellt wird ein Beispiel für einen Induktionsbeweis
lichkeitsfunktion
in der elementaren Wahrsaheinliahkeitsreahnung und seine
Anwendung zum Beweis eines Satzes aus der Arithmetik.
fIX)
=
r~ für X = 1,
1.?
Im allgemeinen werden als Hilfsmittel zu Beweisen in der
n, wobei nE IN
sonst
=
Wahrscheinlichkeitsrechnung Ergebnisse aus anderen Gebie-
und ist E (X)
ten der Mathematik zu
fallsgröße X' mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Hilfe genommen. Nehmen wir zum
"(n+1) /2, so gilt für eine diskrete Zu-
Beispiel an, folgender Satz sei zu beweisen:
fIX')
Satz: Ist X eine diskrete Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
l
f (X)
=
{
~
für X = 1,
n, wobei n ",IN;
sonst
I
I
I
"t
Eine Beweismethode besteht darin, direkt die Definition
des Erwartungswertes einer diskreten Zufallsgröße zu benutzen und als Ergebnis aus der Arithmetik zu verwenden,
daß die Summe der ersten n natürlichen Zahlen n(n+l)/2
beträgt. Dann gilt:
n (n+1)
-2--
Ij
I
n
L
i=1
I
_1 für
n+1
o sonst
x'
1,
wobei Xi
i
n+1
E(X' )
n+1
-2-
n+1 E(X')
n
=
(n+l)/2 und be-
:1.
n+1
n
L
i=l
=
n+1 ~ Xi + n+l • Xn +1
n
n+l
n i=1 n+1
E(X') =
n
L
i=1
X.
X +
~ + n 1
n
n
Da aber nach Voraussetzung E(X)
n
nutzt dieses Ergebnis dann zum Beweis von:
X.
Und daher:
n+1 E(X')
Als methodische Variante kann man auch umgekehrt vorge-
L
i=1
Daraus f01gt:
n
1 taufgrund des erwähnten Ergebnisses
n
hen: Zunächst zeigt man induktiv E(X)
Dazu gehen wir direkt auf die Definition des Erwartungswertes diskreter Zufallsgrößen zurück. Es gilt:
n+1
ist,
n, n+1
(n+1)+1
2
die Gleichung E(X')
Dann ist E(X) = n;l.
E(X)
=(
n+1
= ""2
+
(n+l)/2 ist, folgt:
n+1
---n-
Und daraus ergibt sich E(X')
n
"2
+ 1
n+2
-2-
(n+l)+l
2
- 48 -
- 49 -
Um den Induktionsbeweis zu vervollständigen, zeigen wir
scheinlichkeitsrechnung kennen, ein wenig vom inneren Zu-
noch als " Induktionsanfang" , daß E(X) = (n+1)/2 für n =
sammenhang des weiten Feldes vermitteln, das die Mathematik darstellt.
gilt:
Ist n
1, so ist E(X)
1 +1
-2-
1
1"
n+1
-2-
Damit ist der Induktionsbeweis vollständig.
Wir haben also gezeigt, daß E(X)
= (n+1)/2 ist und benut-
zen diesen einfachen Satz aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung nun, um das arithmetische Ergebnis zu beweisen,
daß die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gleich
n(n+1)/2 ist.
Dazu gehen wir folgendermaßen vor: Sei X eine diskrete
Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
U
1, - , n, wobei ne; IN
für X
f(x, •
sonst
Dann ist aufgrund des oben bewiesenen Satzes:
n
L
i=1
X.
].
E(X)
n
n+1
-2-
Und damit ist ~ X.].
i=1
n+1 b ew].esen.
.
-2-
Diese Darstellung zeigt nicht nur den Nutzen von Induktionsbeweisen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, sondern illustriert auch gut die Zusammenhänge zwischen
"klassischer" mathematischer Analysis und dem Gebiet
der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dieses Beispiel könnte
besonders für Lehrer interessant sein, deren Schüler von
klassischer Mathematik nicht soviel verstehen; denn es
fordert vom Lehrer, den Induktionsbeweis vorzustellen
und den Satz über die Summe der ersten n natürlichen Zahlen zu erarbeiten, und es kann als Aufhänger für die Diskussion der Wechselwirkung von klassischer Mathematik und
I
Wahrscheinlichkeitsrechnung dienen. "Dreht man den Spieß
um", so kann man den SchÜlern, die etwas elementare Wahr-
I