Tutorium 26.08.2011

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeines zu den Landausymbolen
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2 Tutoraufgabe 4
2.1 Induktionsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21. November 2011
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2 Tutoraufgabe 4
1 Allgemeines zu den Landausymbolen
Die Definitionen der Landausymbole prägt man sich am besten entweder auf den Spickzettel in der
DS Klausur oder im Selbststudium ein. Als kleine Merkregel hat sich bewährt, dass klein o und
ω als Quantor ∀c > 0 stehen haben, während O und Ω nur ein ∃c > 0 besitzen. Es ist wichtig
sich nicht nur die Richtung des Operators(ob größer oder kleiner) zu merken, sondern v.a. die
korrekten Quantoren. Wenn man einen logischen Ausdruck wie z.B. f (n) ∈ o(g(n)) verneinen will,
ist die mathematisch korrekte Vorgehensweise die schrittweise Verneinung der Aussage, d.h. für das
Beispiel
¬f (n) ∈ o(g(n)) ⇔ ¬ ((∀c > 0∃n0 ∈ N0 ∀n ≥ n0 )[ f (n) ≤ c · g(n) ])
⇔ (∃c > 0¬ ((∃n0 ∈ N0 ∀n ≥ n0 )[ f (n) ≤ c · g(n) ])
⇔ (∃c > 0∀n0 ∈ N0 ¬ ((∀n ≥ n0 )[ f (n) ≤ c · g(n) ])
⇔ (∃c > 0∀n0 ∈ N0 ∃n ≥ n0 )¬ ([ f (n) ≤ c · g(n) ])
⇔ (∃c > 0∀n0 ∈ N0 ∃n ≥ n0 ) [f (n) > c · g(n)]
ergäbe sich obiges. Als wissender Mathematiker kann man sich diese Schritte natürlich sparen und
das Problem wie negiere ich einen logischen Ausdruck vereinfacht sich zu
1.)drehe alle Quantoren um
2.)negiere die Aussage
2 Tutoraufgabe 4
Ziel der Aufgabe ist es folgende Aussage zu beweisen:
(∀n0 ∈ N0 ∃n ≥ n0 )[2n ≥ 5 · n2 ]
Was bedeutet die Aussage anschaulich erklärt? Wir suchen ein n, sodass für alle n0 ≥ n die
Ungleichung 2n ≥ 5 · n2 erfüllt ist. Eine grafische Interpretation würde lauten, wir suchen den
Schnittpunkt zwischen 2n und 5n2 und wollen beweisen, dass ab diesem Punkt 2n ≥ 5n2 ist. Ein
geeignetes n lässt sich entweder durch konsequentes Ausprobieren finden, indem man z.B. folgende
Tabelle aufstellt oder eine geeignete Numeriksoftware(wolframalpha) bemüht.
n
2n
n2
1
2
1
2
4
4
3
8
9
4
16
16
5
32
25
6
64
36
7 128 49
8 256 64
9 512 81
10 1024 100
21. November 2011
5n2
5
20
45
80
125
180
245
320
405
500
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2 Tutoraufgabe 4
Man erkennt, dass die Ungleichung für n = 9 oder n = 10 erfüllt ist. Die Vermutung ist nun, dass
die Ungleichung für alle n ≥ 9 gilt. Dies muss jedoch erst bewiesen werden. Möglich ist dies auf zwei
Arten: Entweder mittels einem Induktionsbeweis oder direkt. Bei beiden Beweisen ist die Grundidee
die Gleichung
2n ≥ 5 · n2
wie folgt umzustellen
2n
≥5
n2
Um den Sachverhalt zu beweisen, reduziert man die Idee auf den Beweis von
2n
2n+1
≥
≥5
(n + 1)2
n2
2.1 Induktionsbeweis
Induktionsvorrausetzung:
2n+1
2n
≥
(n + 1)2
n2
Induktionsanfang: Sei n = 9:
die Aussage ist gültig.
Induktionsschritt:
29
210
≥
(10)2
92
1024
512
⇔
≥
100
81
2n
2n
2· 2 ≥ 2
n
n
n+1
n+1
2
2
2n+1
2n
⇔ 2 +
+
≥ 2
n
2n
1
n
n+1
n
2
2
⇔
≥ 2
2
(n + 1)
n
oder alternativ
⇔
⇔2·
⇔
2n
2n+1
≥
(n + 1)2
n2
2n+1
2n
≥
2
·
(n + 1)2
n2
2n+2
2n+1
≥
(n + 1)2
n2
2n+2
2n+1 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1
⇔
+
+
≥ 2 +
+
(n + 1)2
2n
3
n
2n
1
⇔
21. November 2011
2n+1
2n+2
≥
(n + 2)2
n + 12
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2 Tutoraufgabe 4
2.2 direkter Beweis
2n+1
(n + 1)2
⇔ 2n+1 · n2
⇔ 2 · 2n · n2
⇔ 2n2
2n
n2
> 2n · (n + 1)2
> 2n · (n + 1)2
> (n + 1)2
>
Idee: ersetze n2 durch (n + 1)(n − 1) + 1
⇔ 2n2 > (n + 1)2
⇔ 2 ((n + 1)(n − 1) + 1) > (n + 1)2
⇔ 2(n + 1)(n − 1) + 2 > (n + 1)2
⇔ 2(n + 1)(n − 1) + 1 ≥ (n + 1)2
⇔ 2(n + 1)(n − 1) + n + 1 ≥ (n + 1)2
⇔ 2(n − 1) + 1 ≥ n + 1
⇔ 2n − 2 > n + 1
⇔n>3
2
2
Dies bedeutet für alle n > 3 ist die Ungleichung (n+1)
2 > n2 erfüllt. Wie oben aus der Tabelle
hergeleitet ist jedoch n ≥ 9. Dies bedeutet wir müssen nur noch beide Beweise verschmelzen. Wenn
man sich nochmal die zu beweisende Aussage genauer anschaut, sieht man, dass n immer größer
gleich n0 sein muss. Um dies zu erfüllen definieren wir einfach
n+1
n
n = max{n0 , 9}
Somit ist die Aussage als gültig gezeigt worden.
Als kleine Randbemerkung zum Schluss noch könnte man auf die Idee kommen, sich den obigen
direkten Beweis sparen zu wollen und den Sachverhalt z.B. mittels einem Grenzwert zu beweisen.
Das Problem ist, dass es dabei zu Problemen kommen könnte, da die Aussage explizit über den
natürlichen Zahlen arbeitet und unter Umständen Vorgehensweisen wie bei den reellen Zahlen nicht
adäquat sind.
21. November 2011
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