Zusammenfassung Mathe II

Zusammenfassung Mathe II
Themenschwerpunkt 2: Stochastik (eAN)
1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen
Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind und es vor Ablauf
nicht vorhersagbar ist. Es kann beliebig oft und in gleicher Weise ablaufen.
Ergebnismenge: Ω eines Zufallsexperiments ist die Ergebnismenge, wenn jedem für die Beobachtung
möglichen Ergebnis genau ein Element aus Ω zugeordnet wird.
mehrstufiges Zufallsexperiment: Ein zufälliger Vorgang aus mehreren, nacheinander ablaufenden
Teilvorgängen, bei k Teilvorgängen 0 spricht man von einem k-stufigen Zufallsexperiment.
diskrete Ergebnismenge
Baumdiagramm:
2. Zufällige Ereignisse, Verknüpfung von Ereignissen
(1) jede Teilmenge A der endlichen Ergebnismenge Ω heißt
Ereignis A.
(2) stellt sich das Ergebnis e ein und gilt so sagt man,
das Ereignis A ist eingetreten.
(3) Die Menge aller Teilmengen von Ω nennt man
Ereignisraum und bezeichnet sie mit 2Ω
3. Absolute und relative Häufigkeiten
Die Zahl Hn(A), die angibt, wie oft bei n-malignem Realisieren
eines Zufallsexperiments das Ereignis A eingetreten ist, heißt
die absolute Häufigkeit von A.
Ist Hn(A) die absolute
Häufigkeit eines Ereignisses A
bei n-maligem Realisieren
eines Zufallsexperiments, so
heißt hn(A)=
die relative
Häufigkeit des Ereignisses A.
4.Wahrscheinlichkeitsverteilung; Rechenregeln für
Wahrscheinlichkeiten
5. Vier- und Mehrfeldertafeln; Zerlegungen der
Ergebnismenge
6. Gleichverteilung (LAPLACE-Experimente)
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments heißt Gleichverteilung, wenn alle
zugehörigen atomaren Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, also gleichwahrscheinlich
sind. Diese Bedingung nennt man LAPLACE-Annahme.
Wahrscheinlichkeit bei LAPLACE-Experimenten: Es gilt: Besteht Ω = {e1; e2; …; n} aus n Ergebnissen,
so tritt jedes Ergebnis ei 1; 2; … ; mit der Wahrscheinlichkeit P({ei}) = =
||
ein.
7. Rechenregel für die Gleichverteilung (LAPLACE-Regel)
Für jedes Ereignis A 2Ω gilt die Rechenregel:
||
P(A) = ||
bzw.
P(A) =
!ü #ü$%&# ' #(&$$
)ö#&+ ' #(&$$
8. Pfadregeln
Erste Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines atomaren Ereignisses ist gleich seiner
Pfadwahrscheinlichkeit (d.h. gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der
dem zugehörigen Ergebnis entspricht).
Zweite Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe
alles Pfadwahrscheinlichkeiten seiner zugehörigen atomaren Ereignisse.
Verzweigungsregel: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von ein und demselben
Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.
9. Zählprinzip bei n-elementigen Mengen
!
Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (k , n) ist -./ = .! ·2.!
10. Urnenmodell, Ziehen ohne Zurücklegen; hypergeometrische Verteilung
Werden einer Urne mit genau N Kugeln (M weiße, N-M schwarze) genau n Kugeln „auf gut Glück“
und ohne Zurücklegen entnommen, dann gilt:
P({genau m weiße Kugeln entnommen}) =
3 563
-4
/-7 64/
-5
7/
11. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Sind A und B zwei Ereignisse mit A 8 Ω und B 8 Ω sowie P(B) > 0, so nennt man PB(A) =
die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter
der Bedingung B. Die hierdurch definierte Funktion PB
heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der
Bedingung B.
: ; <
:<
12. Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
Definition:
. ABCDEFGFH
I. ABCDEFGFH
Erste Pfadregel (auch allgemeiner Produktsatz genannt):
P(A ; B1) = P(B1) · P<> (A)
Zweite Pfadregel (auch Satz von der totalen
Wahrscheinlichkeit genannt):
P(A) = P(B1) · P<> (A) + P(B2) · P<? (A) + …
+ P(Bn) · P<7 (A)
Bayessche Formel (auch Satz von BAYES)
PA(Bi) =
A ; JK A
=
AJK · ALM AJ> · AL> N AJ? · AL? N …N AJ · AL7 13. Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse A und B des Ereignisraumes 2Ω mit P(B) > 0 heißen genau dann voneinander
(stochastisch) unabhängig, wenn PB(A) = P(A) gilt.
Spezieller Multiplikationssatz: Zwei Ereignisse A und B mit P(A) > 0 und P(B) > 0 sind genau dann
voneinander unabhängig, wenn P(A ; B) = P(A) · P(B) gilt.
14. Zufallsgrößen
Endliche Zufallsgrößen: Eine Funktion X: Ω→ O, die jedem Ergebnis e Ω eines Zufallsexperiments
eine reelle Zahl x zuordnet, heißt Zufallsgröße X. Die Elemente des Wertebereichs von X nennt man
Werte der Zufallsgröße X. Zufallsgrößen mit nur endlichen vielen Werten x1, x2, …, xn bezeichnet
man als endliche Zufallsgrößen. Eine Zufallsgröße X, die höchstens abzählbar unendlich viele
verschiedene (Funktions-) Werte x1, x2, …, xn, … besitzt, heißt diskrete Zufallsgröße.
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Funktion, die jedem Wert xi einer diskreten Zufallsgröße X eine
Wahrscheinlichkeit P(X = xi) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. Die
Funktion F mit F(x) = P(X ≤ x) nennt man Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X. Ihre
Funktionswerte sind die kumulierten (summierten) Wahrscheinlichkeiten für X ≤ x.
15. Erwartungswert
X sei eine endliche Zufallsgröße, die genau die Werte xi (i {1; 2; …; n}) annehmen kann, und zwar
jeweils mit der Wahrscheinlichkeit P(X = xi). Dann nennt man die Kenngröße
EX = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn)
den Erwartungswert der endlichen Zufallsgröße X.
16. Streuung
Die Streuung D²X oder auch Varianz VarX von X . Die Quadratwurzel aus der Streuung wird
Standartabweichung genannt und mit DX bzw. √QRST oder auch mit U symbolisiert.
Für eine endliche Zufallsgröße X, die genau die Werte xi mit i {1; 2; …; n}) annehmen kann und die
den Erwartungswert EX besitzt, gilt D²X = E(X²) – (EX)² = ∑&X W&I · YT Z W& [ \T²
17. BERNOULLI-Größe
Eine Zufallsgröße X ≙ ^
`
_
a
2`
heißt BERNOULLI-Größe und das zugehörige (einstufige)
Zufallsexperiment BERNOULLI-Experiment
Die BERNOULLI-Größe besitzt:
EX = p;
D²X = p · (1 – p)
18. BERNOULLI-Ketten; binomialverteilte Zufallsgrößen
wird ein BERNOULLI-Experiment n-mal durchgeführt, ohne dass sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p
ändert, so spricht man von einer BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p.
- für genau k-mal „Erfolg“ Bn;p({k}) = P(X = k) = -./ · pk · (1 – p)n – k
- für höchstens k-mal „Erfolg“ Bn;p({0; 1; …; k}) = P(X ≤ k)
= P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)
= ∑ecX_-bc/ · pc · 1 [ pb2c
Binomialverteilung mit den Parametern n und p
Eine Zufallsgröße X, welche die Werte 0; 1; 2; …; n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = k) =
Bn;p({k}) = -./ · pk · (1 – p)n – k für k {0; 1; 2; …; n} annimmt heißt binomialverteilt mit den
Parametern n und p
BERNOULLI-Formel:
Warten auf den ersten Erfolg: Für ein BERNOULLI-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p
beträgt die Wahrscheinlichkeit für den ersten Erfolg
- bei der n-ten Durchführung
(1 – p)n-1 · p
- frühestens bei der n-ten Durchführung
(1 – p)n-1
- spätestens bei der n-ten Durchführung
1 - (1 – p)n
Bsp. Berechnung kumulierte Binomialverteilungen
(1) genau 50:
P(X = 50) = P(X ≤ 50) - P(X ≤ 49)
(2) weniger als 50:
P(X < 50) = P(X ≤ 49)
(3) mehr als 50:
P(X > 50) = 1 - P(X ≤ 50)
(4) mind. 41, höchst. 59:
P(41 ≤ X ≤ 59) = P(X ≤ 59) - P(X ≤ 40)
(5) mind. 41:
P(X ≥ 41) = 1 - P(X ≤ 40)
(6) mehr als 24, weniger als 28:
P(24 < X < 28) = P(X ≤ 27) - P(X ≤ 24)
geometrisch verteilt: pk = (1 – p)k – 1 · p
19. Erwartungswert und Streuung binomialverteilter Zufallsgrößen
Erwartungswert: EX = µ = n · p
Streuung ( Varianz): D²X = VarX = n · p · (1 – p)
Standartabweichung: DX = σ = fn · p · 1 – p
20. Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE zur
Binomialverteilung
21. Normalverteilung
Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine
nichtnegative Funktion f gibt, sodass P(X ≤ x) = F(x)
m
= i2n jklk für alle x O gilt. Die Funktion f nennt
man Dichtefunktion und F Verteilungsfunktion von
X.
n
Ihr Erwartungswert ist EX = i2n jWlW
Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ² wenn F(x) = P(X ≤ x)
r
= i2n ftdt mit f(t) =
sItu²
· 2
v6 w²
?x²
Erwartungswert und Streuung bei
Normalverteilung: Für jede (µ; σ²)normalverteilte Zufallsgröße X gilt EX = µ und
D²X = σ²
Eine stetige Zufallsgröße X heißt
standardnormalverteilt oder N(0; 1), wenn F(x) =
P(X ≤ x) = Φ(x)
r
= i2n φtdt mit φt) =
√It
v²
· 2 ?
Φ(x): gaußsche Summenfunktion
Laplace-Bedingung: σ > 3
22. 3z-Regel für normalverteilte Zufallsgrößen
23. Beschreibende Statistik
arithmetische Mittel: Treten in einer Stichprobe mit dem Umfang n die Messwerte x1, x2, …, xn auf,
dann heißt x|n =
r> Nr? N}Nr
b
= b ∑&X W& das arithmetische Mittel dieser Stichprobe.
24. Beurteilende Statistik
Grundprobleme des Testens von Hypothesen: Statistische Mengen sind Gesamtheiten von Ereignissen,
Objekten oder Individuen.
Die Menge aller Ereignisse bzw. Objekte oder Individuen, die zu einem klar gekennzeichneten
Merkmal (oder einer Merkmalsgruppe) gebildet werden kann, bezeichnet man als Grundgesamtheit,
insbesondere bei Individuen auch als Population.
Eine aus einer Grundgesamtheit (i. Allg. zufällig – „auf gut Glück“) ausgewählte (Teil-)Menge mit n
Elementen heißt Stichprobe.
Die Elemente X1, X2, …, Xn der Stichprobe sind Zahlenwerte der Zufallsgröße X. Die Anzahl n der
Elemente gibt den Umfang der Stichprobe an, kurz als Stichprobenumfang bezeichnet. Jedes einzelne
Element der Stichprobe heißt Stichprobenelement.
Hypothesen: Die zu überprüfende bzw. zu beurteilende Hypothese heißt Nullhypothese H0. Die
Verneinung (die Negation, das Gegenteil) der Nullhypothese wird Alternativhypothese oder
 bezeichnet. Nullhypothese und Alternativhypothese
Gegenhypothese genannt und mit H1 oder auch H
sind konkurrierende (einander ausschließende) Hypothesen.
Hypothesen Fehlentscheidungen:
Alternativtest: statischer Test auf signifikante Unterschiede, bei dem zwischen zwei einfachen
Hypothesen alternativ (für den einen oder den anderen konkreten Wert) entschieden wird.
- Bestimmung des Annahmeberreichs (des Intervalls) [µ – c · σ; µ + c · σ] (i.d.R. c = 1,96)
Ermitteln des kritischen Werts X = k
bei vorgegebenem Signifikanzniveau
α: