4. Übung

Prof. Dr. O. Sander
Dr. M. Herrich
Institut für Numerische Mathematik
WS 2016/17
Übungen zur Vorlesung Mathematik III für VIW
4. Übung, 1.11.–4.11.2016
Aufgabe 1
Gegeben sei eine diskrete Zufallsgröße X mit P (X ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}) = 1. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße sei durch die folgende Verteilungstabelle gegeben.
xk
−1
0
1
2
3
1
3
1
12
1
6
p
1
6
pk = P (X = xk )
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p = P (X = 2).
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX von X und skizzieren Sie deren Graphen.
(c) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X > 0), P (0 ≤ X ≤ 3) und P (1 ≤ X < 3).
(d) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Streuung und die Standardabweichung von X.
2 einer Zufallsgröße X ist definiert durch
Hinweis: Die Streuung σX
2
σX
= E[(X − E(X))2 ] = E(X 2 ) − (E(X))2 .
Die Standardabweichung σX von X ist die Wurzel aus der Streuung.
(e) Berechnen Sie die Erwartungswerte der Zufallsgrößen Z1 = 2X + 3 und Z2 = |X − 1|.
Aufgabe 2
Die Verteilungsfunktion FX einer diskreten Zufallsgröße X sei gegeben durch

0
für x ≤ 0,



0.5 für 0 < x ≤ 1,
FX (x) =
0.7 für 1 < x ≤ 2,



1
für x > 2.
(a) Skizzieren Sie den Graphen von FX .
(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X = k) für k ∈ {0, 1, 2}.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
Aufgabe 3
Das Schießen auf ein Ziel werde bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p = 0.8 bis zum ersten Treffer,
höchstens aber bis zum vierten Schuss, fortgesetzt. Das Ergebnis eines Schusses sei dabei jeweils
unabhängig von den Ergebnissen der vorhergehenden Schüsse. Die Zufallsgröße X gebe für jeden
möglichen Ausgang dieses Zufallsexperimentes die Anzahl der abgegebenen Schüsse an.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Ziel getroffen?
2 .
(c) Berechnen Sie E(X) und σX
1
Aufgabe 4
Ein Student ist von der Wahrscheinlichkeitsrechnung so begeistert, dass er beschließt, seine Samstagabendbeschäftigung (Diskobesuch oder Kinobesuch oder Buch lesen) jeweils am Vortage durch
Würfeln festzulegen. Für einen idealen Würfel legt er fest:
– Diskobesuch, falls die Augenzahl nicht größer als 3 ist,
– Kinobesuch, falls die Augenzahl gleich 4 oder 5 ist,
– Buch lesen, falls die Augenzahl gleich 6 ist.
(a) Der Student möchte sich eine Vorstellung über das zu erwartende Ergebnis für fünf aufeinanderfolgende Samstage verschaffen. Er interessiert sich für die Wahrscheinlichkeiten dafür,
dass
(a1) er an genau zwei dieser Samstage ins Kino geht,
(a2) er an wenigstens einem dieser Samstage ein Buch liest,
(a3) er an höchstens einem dieser Samstage in die Disko geht.
Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten.
(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Kinobesuche, die der Student an 52 aufeinanderfolgenden Samstagen (eines Jahres) zu erwarten hat.
(c) Wie viele aufeinanderfolgende Samstage dauert es, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
der Student an wenigstens einem dieser Samstage ein Buch liest, größer als 99% ist?
Aufgabe 5
Die Anzahl A der Fahrzeuge, die an einer Tankstelle zwischen 16.00 Uhr und 18.00 Uhr ankommen,
sei Poisson-verteilt. Es sei bekannt, dass während dieser Zeit durchschnittlich 2.5 Fahrzeuge pro
Minute ankommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Minute während
dieser Zeit
(a) kein Fahrzeug,
(b) genau ein Fahrzeug,
(c) genau zwei Fahrzeuge,
(d) mehr als drei Fahrzeuge,
(e) weniger als sechs Fahrzeuge
eintreffen.
Aufgabe 6
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Brennelement in einem Kernreaktor den Bedingungen einer
Qualitätsprüfung nicht genügt, betrage 0.0002. Nutzen Sie die Poissonverteilung, um Näherungswerte
für die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, dass von 1000 Brennelementen
(a) genau ein Brennelement,
(b) höchstens zwei Brennelemente
die Qualitätsbedingungen nicht erfüllen.
2