Kurvenanpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate

Kurvenanpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate
Messungen yi(xi) seien um den unbekannten “wahren” Wert Y (xi) entsprechend einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (y) zufällig verteilt. Oft wird
diese Funktion als Normalverteilung angenommen. Wir werden dies in Bälde auch
so annehmen. Wir definieren
.
ρ(y) = − ln (f (y)) .
Neben den Messungen haben wir ein Modell für die Physik, ein Modell für das,
was wir als Resultat erwarten, ein Modell für die yi also. Wir nennen es y und es
hängt von verschiedenen Parametern ~a = (a1, a2, a3 . . .) ab und ist eine Funktion
von x, y(xi, ~a).
Mit diesem Modell y(xi, ~a) können wir die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass,
mit dem Parametersatz ~a, die N Messresultate yi(xi) entstanden sein könnten.
P =
N n
Y
e−ρ(yi,y(xi,~a)) ∆y
i=1
o
Ein gutes Modell wird eine große Wahrscheinlichkeit aufweisen. Wir wollen also
die Parameter ~a so anpassen, dass die Wahrscheinlichkeit P maximal wird, die ist
das Konzept der “Maximum Likelihood” Methode. Dazu muss also
N
X
ρ(yi, y(xi, ~a))
i=1
minimiert werden. Der Term −N ln ∆y, der noch auftritt, ist konstant und trägt
deshalb bei der Minimierung nicht bei.
Nehmen wir nun also an, f (y) sei eine Normalverteilung. Dann ist
2
(yi − y(xi, ~a))
.
ρ(yi, y(x1, ~a)) =
2σi2
Diese Größe muss minimiert werden. Die Abstände yi − y müssen also im
quadratischen Mittel möglichst klein sein, daher der Name “kleinste Quadrate”.
Wir wollen dies am Beispiel einer Geraden versuchen. Wir minimieren also
¶2
N µ
X
yi − y(xi; ai, . . . , aM )
2 .
.
χ =
σ
i
i=1
Die Methode heißt oft auch chi-Quadrat (Chi-Quadrat), weil die Wahrscheinlichkeitsverteilung des soeben definierten χ2 für den Fall von normalverteilten
Messungen und einer guten Kurvenanpassung gerade der χ2-verteilt ist mit
N − M Freiheitsgraden, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aus der Statistik.
Um χ2 zu minimieren, leiten wir nach allen Parametern ai ab und erhalten ein
System von Gleichungen. Ist das Modell y linear in den Parametern, so findet
man ein lineares Gleichungssystem, welches elementar nach den Parametern ai
aufgelöst werden kann.
¶ µ
¶
N µ
X
yi − y(xi, ~a)
∂y(xi; . . . , ak , . . .)
für k = 1, . . . , M.
0=
2
σi
∂ak
i=1
Übungen
2.1 Coulomb gegen Newton
Wieviele Elektronen müssten wir auf Erde und Mond mindestens verteilen, um
die Gravitation gerade zu kompensieren? Ist das viel?
[7.13 × 1032]
2.2 Ladung der Erdkugel
An der Erdoberfläche herrscht eine durchschnittliche elektrische Feldstärke von
130 V/m. Welche Ladung befindet sich demnach auf der Erdkugel?
[q =
5.87 × 105 C]
Warum spüren wir nichts von diesem Feld?
Ist die Erde als Ganzes wirklich geladen?
2.3 Tetraeder
Aus sechs dünnen Drähten mit einem Widerstand von je 1 Ω wird ein Tetraeder
gelötet. Wie groß ist der Widerstand zwischen zwei seiner Ecken? [R = 0.5Ω]
2.4 Wheatstone-Brücke
Welchen Widerstand R müssen Sie in der gezeichneten Schaltung wählen, um
[R = 9Ω]
die Wärmeentwicklung in RAB minimal zu halten?
2.5 Drei Widerstände
Berechnen Sie in der skizzierten Schaltung die Spannung U1 am Punkt 1
sowie die im Schaltkreis verbrauchte Leistung P als Funktion des variablen
Widerstands R1. Es sei U0 = 10 V, R2 = 10 Ω und R3 = 5 Ω.
[U1[V] = 10/(1 + R1[Ω]/3.33), P [W] = 100/(R1[Ω] + 3.33)]
2.6 Toaster
Ein Toaster liefert an 110 V/60 Hz angeschlossen die Leistung von 1000 W.
Welche Leistung liefert er an 220 V/50 Hz?
[4 kW]
A
2.4
2.5
R
3O
R_3
R_1
1
R_2
R_AB
5O
12O
4O
B