1 Testaufgaben (20 Punkte)

Klausur zur „Codierungstechnik”
12. 12. 2013.
Name:
Neptun-Code:
Unterschrift: .......................................................
Testaufgaben (20)
0,0 – 40
1
Theorie (30)
40,1 – 55,0
2
Aufgabe (20+30)
55,1 – 70,0
3
70,1 – 85,0
4
∑
/100
Note
85,1 – 100,0
5
1 Testaufgaben (20 Punkte)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr (W) oder falsch (F) sind. Kreisen Sie W oder F ein!
1.1. Welche Aussage gelten für die Normalverteilung?
W / F Die Verteilungsdichtefunktion ist gleich mit: f (x) =
√ 1
2πσ 2
e
(x−µ)2
2σ 2
.
W / F Eine Normalverteilung kann mann eindeutig mit deren Erwartungswert (µ) und deren Varianz (σ)
beschreiben.
W / F Summe von zwei Zufalsvariablen mit Normalverteilung ergeben eine Zufalsvariable die auch Normalverteilt ist.
W / F Für eine Normalverteilung im Intervall der Abweichung σ vom Mittelwert sind ∼ 95% aller Messwerte
zu finden.
1.2. Arithmetische Codierung
W / F fügt zusätzliche Bits (Redundanz) zu dem Informationsbits zu;
W / F setzt die a-priori Kenntnis der Verteilungsfunktion der Quellensymbole voraus;
W / F ordnet das schmalste Teilintervall des [0 1) Intervall zu dem Quellensymbol mit der größten Wahrscheinlichkeit zu;
W / F ordnet die kürzeste binäre Bruchzahl aus der Teilintervall gehörend zu dem Quellensymbolfolge zu.
1.3. Bei einen RSA Verschlüsselung
W / F beim Parametern: p = 3, q = 5, e = 7 können wir theoretisch d = 4 wählen;
W / F ist brechbar falls e klein ist;
W / F bei genügend grossen (∼ 1000 Bit) Primzahlen p, q und bei richten Wahl von e, d ist das Code sicher
(unbrechbar);
W / F kann mann die Ausdruck: xe mod n mit Hilfe von 2 log2 e Multiplikationen berechnen.
1.4. Faltungscode
W / F mit einer Coderate Rc =
k
n
bildet k Informationsbits auf Codewort c mit n Bits ab;
W / F hat kein Gedächtnis weil die Codeworte c voneinander unabhängig sind;
W / F könnte zum Beispiel mit dem Viterbi Algorithmus decodiert werden.
W / F Jedes Quellenbit beeinflußt L mal das Codewort c; L heißt Einflusslange oder auch Constraint Length.
1.5. Shannon I. Theorem sagt aus, dass die mittlere Codewortlänge für die Zufallssymbole X
einer diskreten Quelle
W / F immer ganzzahlig wird, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Zufallssymbole negativer Zweierpotenzen
sind;
W / F gleich mit dem Quellenumfang N (Anzahl der möglichen Zufallssymbolen) wird, wenn die Quellenentropie H(X) grösser als N ;
W / F immer grösser als die Quellenentropie H(X);
W / F größer gleich als die Quellenentropie H(X).
2 Theorie: Kanalcodierung (30 Punkte)
Shannon II. Theorem. Grundlagen der Codekonstruktion für lineare Codes: (n, k, q), dmin , Hamming-Abstand
(Hamming-Distanz), Fehlererkennung, Fehlerkorrektur, Anzahl der erkennbare, korrigierbare Fehlern, SingletonSchranke, MDS, Hamming-Schranke, Perfekt Codes, Systematische Codes, Cyclische Codes.
3 Aufgaben (20+30 Punkte)
3.1. Es sei eine Quelle ohne Gedächtnis mit 3 Quellensymbole mit folgendem diskreten Verteilung:
p(s1 ) = 1/2, p(s2 ) = 1/4, p(s3 ) = 1/4.
• Benutzen Sie die Huffmann Verfahren um die Quellensymbole zu codieren, geben Sie die Codebaum
und die Codeworte auch an!
• Geben Sie die Entropie der Quelle und die mittlere Codelänge an!
• Erweitern wir die Quelle so, dass wir zwei Symbole zusammenfassen. Geben Sie die Huffmann-Codes
für die Erweiterte Quelle an. Berechnen Sie für die erweiterte Quelle die mittlere Codewortlänge
gefallen auf den originalen Quellensymbolen.
3.2. Sei RS(n = 4, k = 2, q = 5) ein Reed-Solomon Code über GF(q = 5) konstruiert mit dem Generatormatrix
G und Paritätsmatrix H. Verwende das Primitivelement α = 2!




G=



1
1
1
..
.
1
α
α2
..
.
1
α2
α4
..
.
...
...
...
..
.
1
αn−1
α2(n−1)
..
.








1 αk−1 α2(n−1) . . . α(k−1)(n−1)




H=



1
1
1
..
.
α
α2
α3
..
.
α2
α4
α6
..
.
...
...
...
..
.
αn−1
α2(n−1)
α3(n−1)
..
.








1 αn−k α2(n−k) . . . α(n−k)(n−1)
• Gib dmin an! Wie viele Fehler kann das Code anzeigen und korrigieren?
• Überprüfen Sie ob GHT = 0 gültig ist!
• Zwei empfangene Codeworte sind: v 1 = [2 3 4 0] und v 2 = [0 0 0 0]. Überprüfen Sie ob die empfangenen
Codeworte gültig sind, falls nicht, korrigieren Sie den Fehler, also geben Sie die gesendeten Codeworte
an!
Wählen Sie die decodierte Nachrichtenwörter für v 1 und v 2 aus von den folgenden Möglichkeiten:
u = {[0 0], [1 4], [3 1], [3 4], [0 1], [1 0]}
• Erzeuge eine systematische Generatormatrix G′ ausgegangen von den obigen G!