Übungsblatt 3

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2006
Übungsblatt 3
Themen: Kolmogorov-Axiome, Wahrscheinlichkeit in endlichen endlichen
Wahrscheinlichkeitsräumen, insb. Laplace-Räumen
Abgabetermin: Mittwoch, 3. Mai, bzw. Freitag, 5. Mai, bei der Übungsleiterin oder beim Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde.
Axiome von Kolmogorov
Aufgabe 30 (◦). Zeigen Sie, dass die folgende Formel gilt:
P[B \ A] = P[B ∩ A] = P[B] − P[B ∩ A] .
Zeichnen Sie eine Skizze und beachten Sie, dass B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A) gilt.
Geben Sie eine anschauliche Interpretation der Ereignisse B ∩ A und B ∩ A, wenn A die
Menge aller AargauerInnen und B die Menge aller GeographiestudentInnen ist.
Aufgabe 31 (3 Punkte). Für die drei Ereignisse A, B und C soll
A ∩ B = ∅,
A ∩ C = ∅,
B ∩ C 6= ∅
gelten. Zeichnen Sie ein dieser Situation entsprechendes Venn-Diagramm und lesen Sie
daraus die in diesem Fall gültige Formel für P[A ∪ B ∪ C] ab.
Hinweis. Es wird nicht verlangt, diese Formel für P[A ∪ B ∪ C] durch eine abstrakte
Rechnung aus den Axiomen herzuleiten.
Aufgabe 32 (4 Punkte). Von zwei Ereignissen E und F ist bekannt, dass P[E ∪F ] = 0.9
und P[E ∩ F ] = 0.3 ist. Ist es möglich, dass a) P[E] = 2P[F ], b) P[E] = 4P[F ] ist?
Wenn ja, bestimmen Sie P[E] und P[F ] und geben Sie ein konkretes Beispiel für E und
F in einem Ergebnisraum Ω an.
Hinweis. Es muss immer gelten, dass P[E ∩ F ] ≤ P[F ], da E ∩ F ⊆ F . Trifft dies bei a)
oder b) zu?
Wahrscheinlichkeit in endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen
Aufgabe 33 (3 Punkte). Ein Würfel ist verfälscht. Die Sechs und die Fünf sind gleich
wahrscheinlich, nämlich doppelt so wahrscheinlich wie die Drei. Die Vier und die Eins
sind anderthalbmal so wahrscheinlich wie die Drei. Die Zwei ist dreimal so wahrscheinlich
wie die Drei. a) Bestimmen Sie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird b) eine gerade Zahl, c) eine Zahl grösser als 4 gewürfelt?
Version vom 10. April 2006, 14:43 Uhr
Seite 1
MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2006
Aufgabe 34 (3 Punkte). Das Dodekaeder ist ein Polyeder, welches von 12 regulären
Fünfecken begrenzt wird. Bei einem dodekaederförmigen Spielwürfel sind die Seitenflächen wie folgt beschriftet: Fünfmal mit der Zahl 1, dreimal mit der Zahl 2, zweimal mit
der Zahl 5 und je einmal mit den Zahlen 7 und 8. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) «ungerade Zahl», b) «Potenz von 2», c) «Zahl kleiner
als 5».
Aufgabe 35 (6 Punkte). Ein Glücksrad hat fünf Sektoren, welche mit den Zahlen 1,
2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit für den Sektor k + 1 soll um 0.05
grösser sein als jene für den Sektor k (k = 1, 2, 3, 4). a) Berechnen Sie die Öffnungswinkel
der Sektoren. b) Geben Sie alle Paare von gleich wahrscheinlichen Ereignissen an.
Aufgabe 36 (3 Punkte). Ein Glücksradkonstrukteur hat den Auftrag erhalten, ein
Glücksrad mit drei Sektoren und den folgenden Bildern zu bauen: Rote Kirsche, schwarze Kirsche, Erdbeere. Dies soll so geschehen, dass die Wahrscheinlichkeit für «Kirsche»
doppelt so gross ist wie jene für «Erdbeere» und die Wahrscheinlichkeit für «rote Frucht»
halb so gross wie jene für «schwarze Frucht». Beurteilen Sie diesen Auftrag.
Wahrscheinlichkeit in Laplace-Räumen
Aufgabe 37 (◦). Unter den acht Mannschaften, die sich für die Viertelsfinals des Fussballcups qualifiziert haben, sind fünf aus der Nationalliga A, die übrigen drei sind unterklassig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit spielen in den (zufällig ausgelosten) Viertelsfinals
a) zwei Unterklassige gegeneinander, b) dreimal A-Teams gegen Unterklassige?
Aufgabe 38 (4 Punkte). Ein Kartenspiel enthält, wie in der Schweiz üblich, 36 Karten,
worunter vier Asse sind. Es werden drei Karten gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: Unter den drei Karten ist a) genau ein Ass, b) mindestens ein Ass, c) das Rosen-Ass und mindestens ein weiteres Ass, d) das Rosen-Ass
und das Schellen-Ass.
Aufgabe 39 (3 Punkte). In einer Tüte hat es 5 rote, 3 grüne und 2 gelbe Gummibärchen.
Ein Kind nimmt (ohne hinzusehen) zwei heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben
die beiden dieselbe Farbe?
Aufgabe 40 (3 Punkte). In einem Büchergestell stehen sieben Bücher, darunter die drei
Bände «Der Herr der Ringe I, II, III». Ein einigermassen unordentlicher Mensch stellt
nach dem Abstauben (ganz unordentlich ist er also doch nicht) die Bücher zufällig ins
Regal zurück. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stehen nach dem Einräumen die drei genannten Bücher a) in der richtigen Reihenfolge (von links I, II, III) nebeneinander, b) in
beliebiger Reihenfolge nebeneinander?
Aufgabe 41 (3 Punkte). Wir würfeln gleichzeitig mit einem roten, einem blauen und
einem grünen Würfel. a) Geben Sie den Ergebnisraum Ω an. b) Geben Sie die Elemente
des Ereignisses E: «Die Summe der Augenzahlen des roten und des blauen Würfels echt
kleiner als jene des grünen Würfels» an. c) Was ist die Wahrscheinlichkeit von E?
Version vom 10. April 2006, 14:43 Uhr
Seite 2
MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2006
Aufgabe 42 (4 Punkte). Eine Lieferung von 50 Artikeln wird kontrolliert, indem 5
Stück zufällig ausgewählt und geprüft werden. Die Lieferung wird akzeptiert, wenn diese
Stichprobe kein defektes Gerät enthält. Nun hat der schlitzohrige Hersteller aber 46 gute
und 4 defekte Geräte geliefert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei der Prüfung der
Schwindel aufgedeckt?
Aufgabe 43 (4 Punkte). Wie oft darf man einen unverfälschten Würfel höchstens werfen,
wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei nie eine Sechs fällt a) mindestens 5%,
b) mindestens 0.1% sein soll?
Aufgabe 44 (3 Punkte). Ein rot lackierter Holzwürfel der Seitenlänge 4 cm wird in 64
kleine Würfelchen von 1 cm Seitenlänge zersägt. Ein solches Würfelchen wird zufällig
ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieses 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rote Seitenflächen?
Version vom 10. April 2006, 14:43 Uhr
Seite 3