I Einführung

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I
Einführung
Das vorliegende Skript ist knapp gehalten, dient als
Schreibvorlage für den Dozenten. Literatur:
Reales stochastisches
Problem
H. Kütting, M. Sauer, Elementare Stochastik, 2. Auflage, Spektrum-Verlag, Heidelberg, 2008 (vergriffen;
Neuauflage erscheint Ende April 2011).
N. Henze, Stochastik für Einsteiger, 8. Auflage,
Vieweg/Teubner, Wiesbaden, 2010.
A. Büchter, H.-W. Henn, Elementare Stochastik, 2.
Auflage, Springer, Heidelberg, 2007.
www.mathematik.uni-leipzig.de/Qkoenig/www/Paradoxa.pdf
www.uni-due.de/didmath/angebote_lehrer1.shtml
www.mathematik.uni-kassel.de/stochastik.schule/sisonline/struktur/jahrgang19-99/heft3/1999-3_wirths.pdf
www.math.uni-hamburg.de/home/kiechle/uebl/Proseminar/Ausarb/Teilungsproblem.pdf
Lösung reales
stochastisches Problem
www.num1.ruhr-uni-bochum.de/arbeiten/ba_hoehenrieder.pdf
(1): Modellbildung, inkl. Festlegung eines passenden
Ergebnisraums  und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P . Unter Umständen Vereinfachungen.
(2): Stochastische Theorie auf der Basis des Modells.
(3): Interpretation der Theorie.
Themen der VL:
Endliche und unendliche Wahrscheinlichkeitsräume
(allgemeine Theorie)
Spezielle diskrete Verteilungen (Laplace-Verteilung,
Binomialverteilung, geometrische Verteilung, : : :)
Kombinatorik D Anzahlbestimmung möglicher
Kombinationen eines Experiments
Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz
Zufall tritt an vielen Stellen auf:
Simulation, Zufallszahlen
in der Natur (etwa bei Zerfallsprozessen von Atomen, Wetterentwicklungen),
Statistik, Daten
in der Gesellschaft (etwa bei Spielen),
in der Industrie (z.B. bei Zuverlässigkeit von Produkten wie Glühlampen).
StochastikDWahrscheinlichkeitsrechnung
DWahrscheinlichkeitstheorie (kurz WT)
Geschichte:
Lösung
stochastisches
Problem
Zufall kann mathematisch betrachtet werden, dies ist
Gegenstand der Stochastik.
.3 /
Dabei:
Stochastisches
Modell
# (2)
VL folgt Kütting/Sauer. Hier noch einige Links:
.1 /
!
Begründer der axiomatischen WT:
A. N. Kolmogoroff, 1903–1987.
Bestandteile der Stochastik:
Statistik beinhaltet:
Bestimmung von relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten mittels Daten (hierbei Einsatz von
Software),
Interpretation von Daten,
Darstellungstechniken (Histogramme, Tabellen, Kuchen, : : :)
Gelegentlich wird Statistik zur WT dazugerechnet. Statistik für den Schulunterricht wichtig.
2
II
1
Wahrscheinlichkeit (kurz Wk)
Historische Entwicklung
1.1 Einige Beispiele
Beispiel (Drei-Würfel-Problem). Betrachte den gleichzeitigen Wurf von drei ungezinkten Würfeln, mit jeweils den Seiten 1; 2; 3; 4; 5; 6.
1; 2; 3; 4; 5; 6. Würfel sei ungezinkt, d. h., alle Ergebnisse gleichmöglich. Alle Realisierungen fasse zu Ergebnismenge  D ¹ 1; 2; 3; 4; 5; 6 º zusammen.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis 6, geschrieben als Menge ¹ 6 º: 1/6, kurz
P .¹ 6 º/ D 1=6:
Chevalier de Méré (1607–1684) vermutete: Augensumme 11 so wahrscheinlich wie Summe 12.
Denn: genau einer von sechs gleichmöglichen Fällen ist
„günstig“ für Ereignis ¹ 6 º.
M
Seine Begründung: für beide Augensummen gibt es
sechs verschiedene Möglichkeiten. Diese sind im Folgenden aufgelistet. Die Ergebnisse sind dabei der Größe angeordnet.
Summe 11 Summe 12
6 4 1
6 5 1
6 3 2
6 4 2
5 5 1
6 3 3
5 4 2
5 5 2
5 3 3
5 4 3
4 4 3
4 4 4
Beobachtung von de Méré: in der Praxis Augensumme 11 häufiger als Augensumme 12.
Beispiel (Drei-Würfel-Problem, Fortsetzung). Gesamtzahl aller möglichen Ausgänge: Kombiniere 6 Möglichkeiten für Würfel Nr. 1 mit 6 Möglichkeiten für Würfel Nr. 2, insgesamt 6 6 D 36 Möglichkeiten. Weitere 6 Möglichkeiten für Würfel Nr. 3, also insgesamt
6 36 D 216 Spielausgänge. 216 Tripel bilden Ergebnismenge :
Blaise Pascal (1623–1662) löste Problem. Dazu wird angenommen, dass die Würfel unterscheidbar sind.
Realisierung z. B. der Konstellation 6
3
2
oben durch sechs geordnete Tripel (Eintrag j bezieht sich auf Würfel Nr. j (j
D 1; 2; 3):
.6; 3; 2/; .6; 2; 3/; .3; 2; 6/; .3; 6; 2/; .2; 6; 3/; .2; 3; 6/.
Konstellation 5 5 1 z. B. hingegen wird durch drei
geordnete Tripel realisiert: .5; 5; 1/; .5; 1; 5/; .1; 5; 5/.
Konstellation 4 4
pel realisiert: .4; 4; 4/.
4 wird sogar nur durch ein Tri-
 D ¹ .1; 1; 1/; .1; 1; 2/; .1; 1; 3/; : : : ; .6; 6; 6/ º:
Ereignis Summe 11: wird beschrieben durch Menge A
von 27 Tripeln, deren Einträge jeweils Summe 11 haben:
A D
®
.6; 3; 2/; .6; 2; 3/; .3; 2; 6/; .3; 6; 2/;
¯
.2; 6; 3/; .2; 3; 6/; : : : :
Ereignis Summe 12: wird beschrieben durch Menge B
von 25 Tripeln, deren Einträge jeweils Summe 12 haben:
B
D
®
.6; 5; 1/; .6; 4; 2/; .6; 3; 3/; .5; 5; 2/;
¯
.5; 4; 3/; .4; 4; 4/; .6; 1; 5/; : : : :
Idealer Spielwürfel Ý für alle 216 Spielausgänge gleiche Wahrscheinlichkeit. Dann:
P .Ereignis A/ WD Wahrscheinlichkeit für Ereignis A
Nachzählen: 27 verschiedene Tripel für Summe 11, hingegen nur 25 Tripel für Summe 12.
M
Mathematisches Modell für Drei-Würfel-Problem? Zunächst einfache Beispiele.
Beispiel (Münzwurf). Ausgänge „Zahl“ (Z), „Wappen“
(W).
Beispiel (Würfelwurf). Betrachte oben liegende Seite
nach 1-Wurf eines Würfels. Möglich sind Ausgänge
D
Anzahl günstige Fälle für A
Anzahl mögliche Fälle
:
Diese Wahrscheinlichkeit heißt klassische Wahrscheinlichkeit. Analog wird P .Ereignis B berechnet. Man erhält:
P .Augensumme 11/
D
P .Augensumme 12/
D
27
216
25
216
D 0;125;
0;116:
3
Abschnitt 1 Historische Entwicklung
Behandelte Aspekte:
Anzahlbestimmungen (Aspekt der Kombinatorik)
sultate gleichwahrscheinlich, also Teilung im Verhältnis 3:1.
Darstellung im Baumdiagramm:
Datenerhebung (hier via Spiele/Beobachten der Ergebnisse) (Aspekt der beschreibenden Statistik)
A
Zuordnung rationaler Zahlen zu den Ereignissen als
deren Wahrscheinlichkeit – klassische Wahrscheinlichkeit als ein Aspekt der WT.
A
A
Sieger gesamt
B
...........
...........
...........
................
.... .....
.... .....
.... .....
..
...
.....
.....
.....
....
..
.
.
.
.... .....
.... .....
.... .....
.... .....
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...........
..........
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....
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.
.... ....
.... ....
... ..
... ....
...........
...............
.... ......
..
...
....
....
.
.
.
..
.
...
...
...
...... ...................
................ ...........
......
.
......
.
.
.
.
...... .......
......
A
Beispiel (Teilungsproblem). Glücksspiel mit Spieler A
und B wird nach einer Reihe von Partien vorzeitig aufgrund höherer Gewalt ohne Sieger abgebrochen. Aufteilung der Einsätze? Situation:
B
A
B
A
B
Sieger Nr. 9
Sieger Nr. 8
s
M
Beispiel (Paradoxon von de Méré).
Jede Partie endet mit Gewinn oder Verlust, kein Remis
Chancen für A und B gleich,
Gewinner von 5 Partien erhält Einsätze,
Spiel wird bei 4:3 für Spieler A abgebrochen.
(a) Betrachte zunächst vier Würfe eines ungezinkten
Würfels. Wette:
Ist mindestens eine 6 dabei?
Verteilung des Einsatzes?
Fra Luca Pacioli (1445–1514), Franziskanermönch,
Lehrer für Mathematik an Unis in Italien:
Aufteilung im Verhältnis 4:3
gemäß Realisierung.
Niccolo Tartaglia (1499–1557), Lehrer für Mathematik in Venedig:
Aufteilung .5 C 4 3/ W .5 C 3 4/ D 3 W 2.
Herleitung: Spieler A: Einsatz zurück + Differenz aus
Siegen und Verlusten, analog für B; das Ganze im Verhältnis.
Blaise Pascal (1623–1662), französ. Mathematiker:
Falls B Partie Nr. 8 gewinnt, so Gleichstand, dann Hälfte
des Einsatzes für B. Aber B hat nur Gewinnchance 1/2
für Partie Nr. 8, daher:
1 1
D 41 des Einsatzes für B.
2 2
Neu: Berechnungen stützen sich auf zukünftige Ergebnisse.
Pierre de Fermat (1607–1665), französ. Mathematiker, kommt zum gleichen Ergebnis wie Pascal. Argumentation: vier Anordnungen für zwei ausstehende
Partien:
Sieger Partie 8 Sieger Partie 9 Gesamtsieger
A
A
A
A
B
A
B
A
A
B
B
B
A Sieger in drei Fällen, B Sieger in einem Fall. Alle Re-
./
Man wusste aus Erfahrung: Setzen auf ./ lohnt
sich.
Ergebnismenge pro Wurf: 1 D ¹ 1; 2; 3; 4; 5; 6 º.
Chance für Ergebnis 6 also 16 .
Chance für ./ wurde mit 4 61 D 23 angegeben.
(b) Betrachte nun 24 Würfe zweier Würfel. Wette:
Es ist mindestens ein Sechser-Pasch dabei.
./
Erfahrung zeigt: Wette auf ./ lohnt sich bei 24 Würfen nicht. Aber dies Widerspruch zu folgender Proportionalitätsregel:
Betrachte einen Wurf zweier Würfel. Die Ergebnismenge ist 2 D ¹ .1; 1/; .1; 2/; : : : ; .6; 6/ º. Damit
j2 j D 6 6 D 36 D 6 j1 j, es ist also 2 sechsmal
so groß wie 1 . Hierbei:
jM j D Anzahl Elemente einer Menge M .
Dies und Betrachtungen zu ./ legen nahe: in 24 D
6 4 Würfen sollte mindestens ein Sechser-Pasch da1
D 32 .
bei. Oder anders betrachtet: 24 36
(c) Überlegungen in (1) und (2) fehlerhaft: Nach 10
Würfen mit einem Würfel müsste nach obiger Überlesein. Aber: für klassische
gung P (eine 6 dabei) D 10
6
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gilt immer
Anzahl günstige Fälle für A
Anzahl mögliche Fälle
1:
Später zeigt sich: Setzen auf ./ lohnt sich bei 25 Würfen.
M