Tutorium: Übungsblatt 3 - Statistische Abteilung

Grundzüge der Statistik B
SoSe 2013
Statistische Abteilung
Tutorium: Übungsblatt 3
Aufgabe 1 :
Eine Alarmanlage in einem Kaufhaus ist so eingebaut, dass bei einem Einbruch mit einer
Wahrscheinlichkeit von 20% kein Alarm bei der Polizei ausgelöst wird. In einer Nacht ohne
Einbruch löst sie dagegen mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% den Alarm aus. Aus langjähriger
Erfahrung weiß man, dass die Einbruchswahrscheinlichkeit bei 0, 01 (pro Nacht) liegt.
1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Alarm ausgelöst wird.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich ein Einbruch stattfindet, wenn der
Alarm ausgelöst wurde?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht weder der Alarm ausgelöst wird
noch ein Einbruch stattfindet?
Aufgabe 2 :
In einer Urne befinden sich N = 4 Kugeln, welche die Zahlen 2, 4, 8 und 16 tragen. Es werden mit
Zurücklegen n = 2 Kugeln entnommen. Man definiert die Zufallsvariable X als den Durchschnitt
der beiden Zahlen, die die beiden entnommenen Kugeln tragen.
1. Zählen Sie die 16 möglichen Ergebnisse des Zufallsvorgangs in Form von Zahlenpaaren auf.
2. Berechnen Sie P (X = x) für alle x ∈ R.
Aufgabe 3 :
Zwei faire Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Bezeichne X1 die Augenzahl des
ersten und X2 die des zweiten Würfels. Geben Sie für die daraus abgeleiteten Zufallsvariablen Y
und Z zuerst jeweils die Werte an, die mit positiven Wahrscheinlichkeiten angenommen werden.
Sind Y und Z stochastisch unabhängig?
(a) Y = X1 , Z = 2 · X2
(b) Y = X1 , Z = X1 + X2
(c) Y = X1 + X2 , Z = X1 − X2 .
Aufgabe 4 :
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Grundzüge der Statistik B
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Statistische Abteilung
1. Sie beobachten einen Wurf mit einem fairen Würfel. Sind folgende zwei Ereignisse stochastisch unabhängig?
• Die Augenzahl ist ungerade.
• Die Augenzahl ist durch drei teilbar.
2. Sie beobachten nun, wie der faire Würfel zweimal hintereinander geworfen wird. Sind folgende zwei Ereignisse stochastisch unabhängig?
• Im ersten Wurf wird eine 1 gewürfelt.
• Im zweiten Wurf wird eine 3 gewürfelt.
3. Sie beobachten nun, wie der faire Würfel zweimal hintereinander geworfen wird. Sind folgende zwei Ereignisse stochastisch unabhängig?
• Im zweiten Wurf wird eine 6 gewürfelt.
• Die Summe der Augenzahlen ist größer als 10.
Aufgabe 5 :
Bei dem Würfelspiel „Die böse Drei“ beträgt der Einsatz E = 3 Euro. Dann werden zwei
Würfel geworfen. Fällt keine „3“, erhält die SpielerIn die Augensumme in Euro ausbezahlt. Fällt
mindestens einmal die „3“, so muss sie zu dem Einsatz noch die Augensumme in Euro bezahlen.
Sei X die Zufallsvariable, die den „Gewinn“ (=Auszahlung bzw. Zuzahlung abzüglich Einsatz)
beschreibt.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu verlieren P (X < 0)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen Gewinn zu erzielen P (X > 0)?
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