Blatt 2 - Universität Münster

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Universität Münster
Institut für
Mathematische Statistik
Stochastik für Lehramtskandidaten
SoSe 2015, Blatt 2
Löwe/Heusel
Übungen
Abgabetermin: Freitag, 24.4.2015, 10 Uhr
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Die Herren A und B treffen sich zu einem Glücksspiel. Jeder zahlt zu Beginn einen Einsatz
von 100 Euro. Dann wird mehrmals hintereinander eine faire Münze geworfen. Jeder Wurf,
bei dem “Zahl” erscheint, bringt einen Punkt für Herrn A, für jeden “Wappen”-Wurf gibt
es einen Punkt für Herrn B. Wer zuerst 10 Punkte erreicht, gewinnt den Einsatz von 200
Euro. Beim Spielstand von 8 : 9 für Herrn B fällt jedoch die Münze in einen Gulli und ist
verloren. Da die beiden Herren keine weitere Münze dabei haben, verständigen Sie sich
darauf, den Einsatz dem Spielstand entsprechend im Verhältnis 8 : 9 zu teilen. Welchen
Betrag, meinen Sie, müsste Spieler B vernünftigerweise erhalten?
Aufgabe 2 (4 Punkte)
In einer geselligen Runde wird „gemeiert“. Dabei wird versucht, die Kombination zweier
Würfel, die der Vorgänger geworfen hat, zu überbieten. Dabei bildet die größere Zahl
immer die Zehnerstelle und die kleinere die Einerstelle (die Kombination
entspricht
also der Zahl „61“ und nicht „16“). Ein Pasch ist immer mehr wert als jede andere Kom<
<
<
<
<
. Die Kombination
und
bination und es gilt
somit die Zahl „21“ ist der „Meier“ und schlägt alle anderen Ergebnisse.
(a) In diesem Fall wird allerdings mit nur einem perfekten Würfel gespielt. Der andere
ist gezinkt, und es gilt für diesen
P ( ) = 0, 2,
P ( ) = 0, 2,
P ( ) = 0, 1,
P ( ) = 0, 1,
P ( ) = 0, 3,
P ( ) = 0, 1.
Der Vorgänger hat eine „54“ geworfen. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass der nächste
Spieler ihn überbietet?
(b) Nun wird der gezinkte Würfel nochmals verändert. Bei dem neuen Würfel sind die
Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse , ,
und
wie beim alten Exemplar.
Wie muss die Wahrscheinlichkeit für die aussehen, damit der Spieler eine „54“ in
über 50% der Fälle übertrifft?
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Bei einem Zufallsexperiment wird zunächst eine faire Münze geworfen. Zeigt die Münze
Kopf, wirft man einen fairen Würfel, zeigt sie Zahl, wirft man einen unfairen Würfel, der
mit Wahrscheinlichkeit 12 eine sechs würfelt (und mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils
1
die restlichen Zahlen).
10
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Zahl zeigte, gegeben,
dass mit dem Würfel eine sechs geworfen wurde. Geben Sie dabei auch einen geeigneten
Wahrscheinlichkeitsraum für das Zufallsexperiment an.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Es seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A. Zeigen oder widerlegen
Sie:
(a) A und ∅ sowie A und Ω sind stochastisch unabhängig.
(b) Es gelte A ⊆ B. Dann folgt:
A und B sind stochastisch unabhängig ⇔ P (A) = 0 oder P (B) = 1.
(c) Es sei 0 < P(B) < 1 und A ∩ B = ∅. Dann folgt:
P (Ac |B) = P (A|B c ) ⇔ P (A) + P (B) = 1.
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