Wahrscheinlichkeit und Statistik - D-MATH

ETH Zürich HS 2014
D-INFK
Prof. Dr. P. Embrechts
Koordinator
Blanka Horvath
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Serie 8
Abgabe bis Freitag, den 14. November um 13:00 Uhr im Vorraum von HG G 52.
Aufgabe 8-1
Es seien X und Y unabh"angige, N (0, 1) - verteilte Zufallsvariablen. Wir betrachten die Zufallsvariable Z, welche definiert ist als
(
X
fallsY > 0,
Z := sign(Y ) · X =
−X fallsY ≤ 0.
a) Bestimmen Sie die Verteilung von Z.
b) Berechnen Sie die Korrelation von X und Z.
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X + Z = 0).
d) Sind X und Z unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort durch ein präzises mathematisches
Argument.
Aufgabe 8-2
Der Widerstand R einer serienmässig produzierten elektrischen Komponente sei in guter Approximation normalverteilt mit µ = 1000 Ohm und σ 2 = 50 Ohm2 .
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass R zwischen 990 und 1010 Ohm liegt.
b) Berechnen Sie den Wert c so, dass R mit Wahrscheinlichkeit 90% grösser ist als c. (Dieses
c ist das sogenannte 10%-Quantil der Verteilung von R).
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass R über 1020 Ohm liegt.
d) Eine Messung hat ergeben, dass R über 1010 Ohm liegt. Berechnen Sie die bedingte
Wahrscheinlichkeit, dass dann R über 1020 Ohm liegt.
Aufgabe 8-3
Die gemeinsame Dichte f (x, y) zweier Zufallsvariablen X, Y sei im Quadrat Q (vgl. Skizze)
konstant und verschwinde ausserhalb von Q.
y
1
Q
−1
1
x
−1
a) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von (X, Y ).
b) Bestimmen Sie die Randdichten fX und fY der Zufallsvariablen X und Y .
c) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig? Begründen Sie ihre Antwort mit einem
mathematischen Argument!
d) Was ist die Antwort in c), wenn das Quadrat Q um 45 Grad gedreht wird?
Serien, Lösungsskizzen und weitere Informationen befinden sich auf der Vorlesungshomepage:
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/statistik_INFK/