Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät

Universität Hannover
Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät
Lehrstuhl für Produktionswirtschaft
Prof. Dr. Stefan Helber
Klausur zur Vorlesung
“Stochastische Modelle in Produktion und Logistik”
im WS 04/05
Hinweise:
• Die Klausur besteht aus 10 Seiten (inkl. Deckblatt). Bitte überprüfen Sie, ob Ihr
Exemplar komplett ist und lassen Sie sich ggf. ein anderes geben.
• Die Klausur besteht aus vier Aufgaben, aus denen Sie drei zur Bearbeitung und
Bewertung auswählen sollen. Sofern Sie mehr als drei Aufgaben bearbeiten, werden
nur die Aufgaben 1 bis 3 bewertet und die Aufgabe 4 gilt als nicht zur Bewertung
ausgewählt.
• In jeder Aufgabe sind 20 Punkte zu erreichen. Bei einer Klausurdauer von 60 Minuten
sind damit maximal insgesamt 60 Punkte zu erreichen.
• Der Lösungsweg muß erkennbar sein! Wenn Sie zur Beantwortung einer Frage
eine Formel verwenden, so geben Sie diese zunächst in allgemeiner Form an!
• Als Hilfsmittel ist ein nicht alpha-numerisch programmierbarer Taschenrechner zulässig
sowie ein beidseitig handbeschriebenes Hilfsblatt im Format DIN A4 mit Formeln etc.
nach Ihrer Wahl.
• Zur Beantwortung der Fragen finden Sie genügend Platz in der Klausur. Bitte reißen
Sie die Klausur nicht auseinander und verwenden Sie kein eigenes Papier.
• Tragen Sie bitte zuerst Ihre persönlichen Daten ein.
Persönliche Daten:
Nachname
Vorname
Matrikelnr.
Bewertung:
Aufg.
Punkte
1
2
3
4
Summe
1
Studienfach Semester
1. Zweidimensionale Zufallsvariablen (20 P.)
(a) Diskrete Zufallsvariablen Die Zufallsvariablen (X, Y ) haben die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsfunktion
P (X = 0, Y = 0) = 0.1
P (X = 0, Y = 1) = 0.2
P (X = 0, Y = 2) = 0.3
P (X = 1, Y = 0) = 0.1
P (X = 1, Y = 1) = 0.1
P (X = 1, Y = 2) = 0.2
i. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen von X und von Y ! Sind die
Zufallsvariablen unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort! (5 P.)
ii. Es sei Z = X + Y eine neue Zufallsvariable. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Z. (4 P.)
iii. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X unter der Bedingung
Y = 1.(2 P.)
2
(b) Stetige Zufallsvariablen Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und
exponentialverteilt mit dem gemeinsamen Parameter λ.
i. Geben Sie die Dichtefunktion der Faltung der beiden Zufallsvariablen an!
Was wird auf diese Weise berechnet? Wie ist die neue Zufallsvariable verteilt?
(5 P.)
ii. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl X als auch Y kleiner als
eins sind, sowie den Erwartungswert von X + Y . (4 P.)
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2. Stochastische Prozesse (20 P.)
(a) Kennzeichnen Sie den Poisson–Prozeß durch seine charakteristischen Eigenschaften! (4 P.)
(b) Ist der homogene Poisson–Prozeß ein ergodischer Markow–Prozess? Begründen
Sie Ihre Antwort! (3 P.)
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitintervall [0, 4] mindestens 3 Ereignisse stattfinden, wenn N (t) die Anzahl der Ereignisse eines Poisson–Prozesses
mit Parameter λ = 1 beschreibt. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit,
dass das dritte Ereignis vor dem Zeitpunkt 4 eintritt, d.h. T3 ≤ 4. Was verdeutlicht
das Ergebnis? (6 P.)
4
(d) Gegeben Sei die folgende Übergangsmatrix P eines Markow–Prozesses in diskreter
Zeit mit dem Zustandsraum E = {1, 2, 3, 4, 5}:


0.2 0 0.8 0
0
 0 0.8 0
0 0.2 



0
0.2
0.3
0.5
0
P=


 0.4 0
0 0.6 0 
0 0.8 0
0 0.2
Zeichnen sie den Übergangsgraphen und klassifizieren Sie die Zustände! Ist die
Kette ergodisch? (7 P.)
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3. Markow-Ketten mit diskretem Zeit- und Zustandsraum (20 P.)
In einem Produktionslager wird die Nachfrage nach einem gewissen Bauteil an aufeinanderfolgenden Werktagen untersucht. Es werden drei Zustände unterschieden. Die
Nachfrage kann niedrig (Zustand “0”), moderat (Zustand “1”) oder hoch (Zustand
“2”) sein. Auf einen Tag mit niedriger Nachfrage folgt mit einer Wahrscheinlichkeit
von 70% ein weiterer Tag mit niedriger Nachfrage, ansonsten ist die Nachfrage moderat. Auf einen Tag mit moderater Nachfrage folgt mit einer Wahrscheinlichkeit von
20% ein weiterer Tag mit moderater Nachfrage und einer Wahrscheinlichkeit von 50%
ein Tag mit niedriger Nachfrage, ansonsten ist die Nachfrage hoch. Auf einen Tag mit
hoher Nachfrage folgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ein weiterer Tag mit hoher Nachfrage und mit 90% ein Tag mit moderater Nachfrage. Die Nachfrage an den
vorherigen Tagen ist stets irrelevant.
(a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen und geben Sie die Übergangsmatrix an! (4 P.)
(b) An einem Montag sei die Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% niedrig und mit 20% moderat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Nachfrage an einem Dienstag. (4 P.)
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(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Nachfrage an den beiden folgenden Tagen
gering, wenn man weiß, dass die Nachfrage heute gering war? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie an den beiden folgenden Tagen hoch, wenn sie heute hoch
war? (4 P.)
(d) Eine Gruppe von Studenten macht an einem zufällig gewählten Tag eine Werksbesichtigung, wobei auch das Lager besucht wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
erlebt Sie einen Tag mit geringer, moderater und hoher Nachfrage? (6 P.)
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(e) Erläutern Sie, was mit der folgenden Übergangsmatrix bei Anwendung der Power–
Methode passiert und warum? Bei welchen Markow–Ketten funktioniert die PowerMethode? (2 P.)


0 1 0 0
 0 0 0 1 

P=
 1 0 0 0 
0 0 1 0
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4. Warteschlangentheorie (20 P.)
In einem Selbstbedienungssystem, indem jeder Kunde sein eigener Bediener ist, treffen
Kunden mit einer Rate von λ = 20 Ankünften pro Stunde ein. Ein Kunde benötigt
für die Erledigung seines Anliegens im Mittel µ1 = 2 Minuten. Zwischenankunftszeiten und Bearbeitungszeiten seien exponentialverteilt. Analysieren Sie dieses M/M/∞
System durch den Grenzübergang c → ∞ für die Ergebnisse des M/M/c Systems. Geben Sie bei den folgenden Aufgaben auch stets die verwendeten Formeln in allgemeiner
Form an und führen Sie bei allen Berechnungen die Einheiten mit!
Hinweis:
∞
X
xk
= ex
k!
k=0
(a) Skizzieren Sie den Übergangsgraphen und die Übergangsratenmatrix! (4 P.)
(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für 0 und n Kunden im System! (5 P.)
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(c) Ermitteln Sie die mittlere Anzahl E[LS ] an Kunden im System und die mittlere
Zeit E[W S ], die ein durchschnittlicher Kunde im System verbringt! (6 P.)
(d) Nehmen Sie an, dass das System maximal 4 Kunden aufnehmen kann. Bestimmen
Sie unter Verwendung des für diese Situation geeigneten Modells die Wahrscheinlichkeit, dass ein ankommender Kunde abgewiesen wird? (5 P.)
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