Üb 13

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Übung (13)
1. Eine Längenmessung (die bereits normalverteilt sei) mit Streuung σ = 1/100[mm] soll durch Mittelung von n
unabhängigen Messwerten so verbessert werden, dass das zweiseitige 99%− Vertrauensintervall für den Idealwert
µ nur noch die halbe Breite 10−3 [mm] bekommt. Wie groß muss man n wählen?
2. Der Tagesbedarf einer Fabrik an einem Grundstoff sei normalverteilt mit Erwartungswert 1 Tonne und Streuung
100[kg]. Wie viel von diesem Grundstoff sollte die Firma täglich vorhalten, um mit 99% Sicherheit genug für den
Tagesbedarf zu haben?
3. Man misst die Gesamtmasse einer homogenen Kugel als (konstante) Dichte ρ mal Volumen, das Volumen über
den Radius r mit 43 r3 π. Nun sei der Radius gemessen mit rm = 1[m], die Dichte gemessen mit ρm = 5 Gramm pro
[cm]3 . Die Streuung der Radiusmessung sei σr = 10−6 [m], die Streuung der Dichtemessung σ ρ = 10−3 [Gramm
pro [cm]3 ], beide Messungen normalverteilt. Linearisieren Sie den Fehler der Messung der Gesamtmasse, und
geben Sie für die tatsächliche Gesamtmasse das zweiseitige 95%− Vertrauensintervall (in ganzen Gramm). Beurteilen Sie auch, welcher Fehler bei den Eingabevariablen sich stärker auswirkt (wie viel stärker?), und ob das
Vertrauensintervall noch einigermaßen brauchbar ist.
4. Es seien A, B zwei disjunkte Gruppen von Autofahrern (d.h. A ∩ B = ∅). In einer Zufallsstichprobe von 100
Fahrern aus A wird über ein Jahr eine mittlere im Straßenverkehr verursachte Schadenshöhe xA 300 Euro
beobachtet, dabei sXA = 100 Euro als Streuungsschätzwert. In einer Stichprobe vom Umfang 80 aus B beobachtet
man über dasselbe Jahr die Werte xB = 500 Euro und sXB = 200 Euro.
(a) Geben Sie ein zweiseitiges 95%− Vertrauensuntervall für µ (XB ) − µ (XA ) . Geben Sie es in ganzen Euro.
(b) Wie viel höher sollte der Versicherungsbeitrag für Gruppe B gegenüber dem für Gruppe A sein, wenn man
dafür die Grenze des einseitigen rechtsseitigen 99%− Vertrauensintervalls für µ (XB ) − µ (XA ) als gerecht
betrachtet? Geben Sie auch hier einen Wert in ganzen Euro.
5. Die Variable X nehme nur Werte > 0 an. Die Variable Y = ln ◦X sei normalverteilt mit µ (Y ) = 0 und
σ (Y ) = 10.
(a) Berechnen Sie P (X ≤ a) allgemein für a > 0. (In der Antwort darf natürlich ein Ausdruck Φ0,1 vorkommen.
(b) Geben Sie eine Dichtefunktion für X an (benutzen Sie dazu das Resultat von a).
(c) Schreiben Sie µ (X) als Integral auf. Warum erwarten Sie nicht, dass dabei eµ(Y ) = 1 herauskommt?
(d) ∗ ) Rechnen Sie das Integral µ (X) aus. Hinweis: Mit einer naheliegenden Substitution und einer nützlichen
Anwendung quadratischer Ergänzung schaffen Sie es.
6. Eine Bevölkerung Ω bestehe aus zwei disjunkten Teilpopulation A,B, A ∪ B = Ω. A mache ein Drittel von Ω
aus. Nun sei die Zufallsvariable
X auf Ω
mit X|A (das heißt X eingeschränkt auf A) näherungsweise
definiert,
normalverteilt
mit
µ
X
=
100
und
σ
X
=
10,
weiter sei X|B näherungsweise normalverteilt mit µ X|B =
|A
|A
120, σ X|B = 20.
(a) Berechnen Sie P (X ≤ 115) .Hinweis: Benutzen Sie die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit.
(b) Berechnen Sie µ (X) (also auf der Gesamtpopulation). Hinweis: Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit verallgemeinert sich auf die Berechnung von Erwartungwerten einer Gesamtpopulation, von der man
die Erwartungswerte von Teilklassen kennt sowie die Anteile dieser Teilklassen.
(c) Berechnen Sie σ (X) . Hinweis: Benutzen Sie die Formel σ2 (Y ) = µ Y 2 − µ2 (Y ) sowohl für X als auch
für X|A und X|B .
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