Seite 1 Für die Drehzahl X[Umdrehungen/min] und die Leistung Y [PS]

Aufgabe 1 (ca. 13 Punkte)
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Für die Drehzahl X[Umdrehungen/min] und die Leistung Y [PS] des Dieselmotors einer Lokomotive entnimmt man aus der Technischen Rundschau Sulzer 41, 1959, 27 folgende Werte:
X 400 500 600 700 750
Y 580 1030 1420 1880 2100
a) Berechnen Sie die empirischen Mittel x̄, ȳ, die empirischen Streuungen s2X , s2Y und
die empirische Kovarianz sXY .
P
P
P 2
P 2
P
Hilfsgrößen: xi = 2 950;
yi = 7 010;
xi = 1 822 500;
yi = 11 358 100;
xi yi = 4 490 000
b) Berechnen Sie die Koeffizienten a, b der Regressionsgeraden y = ax + b.
c) Kann zwischen den Merkmalen X und Y eine linearer Zusammenhang angenommen werden?
(Begründung!)
a) n = 5
x̄ =
ȳ =
s2X =
s2Y =
sXY =
b)
1X
1
xi = · 2 950 = 590
n
5
1X
1
yi = · 7 010 = 1 402
n
5
1
1X 2
xi −(x̄)2 = · 1 822 500−(590)2 = 16 400
n
5
1X 2
1
yi −(ȳ)2 = · 11 358 100−(1 402)2 = 306 016
n
5
1
1X
xi yi − x̄ · ȳ = · 4 490 000−590 · 1 402 = 70 820
n
5
70 820
≈ 4, 3183
16 400
b = ȳ − a · x̄ = 1 402 − 4, 3183 · 590 ≈ −1 145, 8
a = sXY /s2X =
y = a · x + b = 4, 3183 · x − 1 145, 8
c)
rXY
=
sXY
q
s2x · s2Y
=√
70 820
≈ 0, 99968
16 400 · 306 016
Wegen rXY ≈ 1 darf ein linearer Zusammenhang zwischen X und Y angenommen werden.
Aufgabe 1 (ca. 13 Punkte) Fortsetzung
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Aufgabe 2 (ca. 11 Punkte)
Seite 3
Die Zufallsvariable X (=Bruchfestigkeit einer Betonsorte) sei normalverteilt mit
unbekanntem Erwartungswert ξ und unbekannter Streuung σ 2 .
Bei der Untersuchung von 6 Probewürfeln erhielt man die Werte 180, 175, 182, 185, 186, 182 [kg/cm3 ].
Hilfsgrössen: x̄ = 181, 67; s2 = 15, 47
a) Man gebe ein nur nach unten und ein nur nach oben begrenztes 95%−Vertrauensintervall für ξ an.
Man teste die Hypothese H0 : ξ ≥ 185 gegen H1 : ξ< 185 mit 95% Sicherheitswahrscheinlichkeit.
b) Für σ 2 ermittle man ein zweiseitig begrenztes 95%−Vertrauensintervall.
Testen Sie die Hypothese H0 : σ 2 = 50 (bei 95% Sicherheitswahrscheinlichkeit).
a) Nach oben begrenztes 95%−VI für ξ:

s
p ξ ≤ x̄ + tn−1
P% ·

P
s2 
=
n
100
s2 ≈ 15, 467 P = 95 t595% = 2, 015
n = 6 x̄ ≈ 181, 67
r
⇒ ξ ≤ 181, 67 + 2, 015 ·
15, 467
≈ 184, 90
6
95% − VI f ür ξ
Nach unten begrenztes 95%−VI für ξ:

s
p x̄ − tn−1
P% ·
s2
n

≤ ξ =
n = 6 x̄ ≈ 181, 67
s2 ≈ 15, 467 P = 95 t595% = 2, 015
r
⇒ 181, 67 − 2, 015 ·
P
100
15, 467
≈ 178, 43 ≤ ξ
6
95% − VI f ür ξ
Test: H0 : ξ ≥ 185 gegen H1 : ξ< 185
Zum Test ist das nach oben begrenzte VI zu verwenden: ξ ≤ 184, 9
Da ξ0 =185 nicht im VI liegt, ist H0 zugunsten H1 : ξ< 185 zu verwerfen.
b) Zweiseitig begrenztes 95%−VI für σ 2
(n − 1) · s2
(n − 1) · s2
2
p
≤
σ
≤
χ2n−1;P %
χ2n−1;Q%
!
=
P −Q
100
P = 97, 5; Q = 2, 5
n=6
s2 ≈ 15, 47
χ25; 2,5% = 0, 831
χ25; 97,5% = 12, 83
⇒ 6, 03 ≈
5 · 15, 47
5 · 15, 47
≤ σ2 ≤
≈ 93, 06
12, 83
0, 831
95% − VI f ür σ 2
Die Hypothese H0 : σ 2 = 50 wird nicht verworfen.
Aufgabe 2 (ca. 11 Punkte) Fortsetzung
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Aufgabe 3 (ca. 8 Punkte)
Seite 5
Eine Produktion von Transistoren enthalte den bekannten Ausschussanteil von 1%.
Der Produktion werden 100 Stück zufällig entnommen.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon höchstens eines defekt ist?
b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit aus a) unter Verwendung des Zentralen Grenzwertsatzes
und vergleiche die zwei Ergebnisse.
n = 100 Stück; p = 1% = 0, 01; q = 1 − p = 0, 99
a) X:=Anzahl der defekten Transistoren. Verwende Binomialverteilung (BV)
p(X ≤ 1) = p(X = 0) + p(X = 1)
!
=
!
100
100
· (0, 01)0 · (0, 99)100 +
· (0, 01)1 · (0, 99)99
0
1
= 1 · 1 · (0, 99)100 + 100 · 0, 01 · (0, 99)99 ≈ 0, 7358
X − np
b) Zentraler Grenzwertsatz: U := √
∼ (0, 1)−normalverteilt (NV)
npq
pBV (X ≤ 1) ≈ pNV (X ≤ 1, 5)
!
X − np
1, 5 − np
= pNV √
≤ √
npq
npq
1, 5 − 100 · 0, 01
= pNV U ≤ √
100 · 0, 01 · 0, 99
0, 5
≈ 0, 6915
= pNV U ≤ √
0, 99
Relativer Fehler
0, 7358 − 0, 6915
≈ 6%.
0, 7357
Aufgabe 4 (ca. 14 Punkte)
Seite 6
a) Man zeige, dass f (x) =

2


 2 ·x 0≤x≤a
a



0
Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist.
sonst
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Streuung D2 (X) von X.
(Ergebnis: E(X) = 2a/3; D2 (X) = a2 /18)
c) Seien X1 , . . . , Xn unabhängige, wie X verteilte Zufallsvariable und Yn := X1 + · · · + Xn .
Man berechne E(Yn ) und D2 (Yn ).
d) Mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes (n ≥ 30) ermittle man ein
P %−Vertrauensintervall (P > 50) für den Parameter a.
a) Die Bedingungen f ≥ 0 und
Z∞
b)
E(X) =
D2 (X) =
−∞
Z∞
∞
2
f (x) dx = 2
a
−∞
Z
2
x · f (x) dx = 2
a
Z
Za
a
0
"
2 x2
x dx = 2
a
2
"
2 x3
x dx = 2
a
3
2
x − E(X)
· f (x) dx =
−∞
=
2
a2
c)
#a
2
a2
Za =
0
x−
2a
3
2a
3
2
· x dx
0
Za
!
2
·
a2
"
4a
4a2
2 x4 4ax3 2a2 x2
x − x2 +
x dx = 2
−
+
3
9
a
4
9
9
9a4
#a
3
0
=
= 1 sind erfüllt.
0
2
0
#a
−
16a4
36
+
8a4
=
0
a2
18
2a
3
a2
D2 (Yn ) = D2 (X1 + · · · + Xn ) = D2 (X1 ) + · · · + D2 (Xn ) = n · D2 (X) = n ·
18
E (Yn ) = E (X1 + · · · + Xn ) = E (X1 ) + · · · + E (Xn ) = n · E (X) = n ·
Aufgabe 4 (ca. 14 Punkte) Fortsetzung
Seite 7
Yn − E(Yn )
nX̄ − n · 2a/3
X̄ − 2a/3
√
∼ (0, 1)−normalverteilt.
d) Zentraler Grenzwertsatz: U = p 2
= p
=
2
D (Yn )
n · a /18
a/ 18n
!
P
X̄ − 2a/3
√
p −λp% ≤
≤ λp% =
100
a/ 18n
wobei λP % zweiseitige P % − Grenze der (0, 1) − NV
2a
P
a
a
≤ X̄ −
=
≤ λp% · √
3
100
18n
18n
!
2
2
P
1
1
p
a ≤ X̄ ≤
a =
− λp% · √
+ λp% · √
3
3
100
18n
18n
p −λp% · √
|
{z
}
=:α>0
|
{z
=:β>0
}
P
100
!
X̄
P
p α≤
≤β =
a
100
P
1
a
1
=
p
≥
≥
α
β
100
X̄
p(αa ≤ X̄ ≤ βa) =
X̄
X̄
p
≥a≥
α
β
!
=
P
100
X̄
X̄
≤a≤
beschreibt ein P %−Vertrauensintervall für a.
β
α
Technische Universität München
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Edenhofer, Dipl.Ing. W. Schultz
Semestrale zur Vorlesung SS 2006
Zentrum Mathematik M1
Termin: Donnerstag 08.02.2007 12:30 – 13:30 Uhr
Statistik für Betriebswirtschaftslehre
Aufgabe 1 (ca. 13 Punkte)
Für die Drehzahl X[Umdrehungen/min] und die Leistung Y [PS] des Dieselmotors einer Lokomotive entnimmt man aus der Technischen Rundschau Sulzer 41, 1959, 27 folgende Werte:
X 400 500 600 700 750
Y 580 1030 1420 1880 2100
a) Berechnen Sie die empirischen Mittel x̄, ȳ, die empirischen Streuungen s2X , s2Y und
die empirische Kovarianz sXY .
P
P
P
P 2
P 2
Hilfsgrößen: xi = 2 950;
yi = 7 010;
xi = 1 822 500;
yi = 11 358 100;
xi yi = 4 490 000
b) Berechnen Sie die Koeffizienten a, b der Regressionsgeraden y = ax + b.
c) Kann zwischen den Merkmalen X und Y eine linearer Zusammenhang angenommen werden?
(Begründung!)
Aufgabe 2 (ca. 11 Punkte)
Die Zufallsvariable X (=Bruchfestigkeit einer Betonsorte) sei normalverteilt mit
unbekanntem Erwartungswert ξ und unbekannter Streuung σ 2 .
Bei der Untersuchung von 6 Probewürfeln erhielt man die Werte 180, 175, 182, 185, 186, 182 [kg/cm3 ].
Hilfsgrössen: x̄ = 181, 67; s2 = 15, 47
a) Man gebe ein nur nach unten und ein nur nach oben begrenztes 95%−Vertrauensintervall für ξ an.
Man teste die Hypothese H0 : ξ ≥ 185 gegen H1 : ξ< 185 mit 95% Sicherheitswahrscheinlichkeit.
b) Für σ 2 ermittle man ein zweiseitig begrenztes 95%−Vertrauensintervall.
Testen Sie die Hypothese H0 : σ 2 = 50 (bei 95% Sicherheitswahrscheinlichkeit).
Aufgabe 3 (ca. 8 Punkte)
Eine Produktion von Transistoren enthalte den bekannten Ausschussanteil von 1%.
Der Produktion werden 100 Stück zufällig entnommen.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon höchstens eines defekt ist?
b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit aus a) unter Verwendung des Zentralen Grenzwertsatzes
und vergleiche die zwei Ergebnisse.
Aufgabe 4 (ca. 14 Punkte) 
2


 2 ·x 0≤x≤a
a
a) Man zeige, dass f (x) =
Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist.



0
sonst
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Streuung D2 (X) von X.
(Ergebnis: E(X) = 2a/3; D2 (X) = a2 /18)
c) Seien X1 , . . . , Xn unabhängige, wie X verteilte Zufallsvariable und Yn := X1 + · · · + Xn .
Man berechne E(Yn ) und D2 (Yn ).
d) Mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes (n ≥ 30) ermittle man ein
P %−Vertrauensintervall (P > 50) für den Parameter a.
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