Blatt 5 - Fakultät Statistik (TU Dortmund)

TU DORTMUND
Sommersemester 2016
Fakultät Statistik
10. Mai 2016
Prof. Dr. J. Kunert
M.Sc. S. Nennstiel
Übungen zur Vorlesung Lineare Modelle
Blatt 5
Aufgabe 11 (2 Punkte)
Sei x = (x1 , ..., xn )T ein Zufallsvektor mit L(x) = IN (1n , In ). Definieren Sie yi = xi − x für i = 1, ..., n und
y = (y1 , ..., yn )T . Welche Verteilung hat y?
Aufgabe 12 (3 Punkte)
Der zweidimensionale Spezialfall der multivariaten Normalverteilung ist die bivariate Normalverteilung. Sei
nun x = (x1 , x2 )T bivariat normalverteilt mit
E(x) = µ =
µ1
µ2

und Cov(x) = Σ = 
σ12
ρσ1 σ2
ρσ1 σ2
σ22

.
Dabei bezeichnet ρ die Korrelation zwischen x1 und x2 . Für ρ ∈ (−1, 1) existiert die Dichte der bivariaten
Normalverteilung mit
f (x1 , x2 ) =
1
1
1
p
exp(− (x − µ)T Σ−1 (x − µ)).
2π det(Σ)
2
Verwenden Sie ein statistisches Softwarepaket Ihrer Wahl, um sich einen Eindruck von dieser Verteilung zu
verschaffen. Stellen Sie dazu zunächst die Dichte der bivariaten Standardnormalverteilung grafisch dar, also
für E(x) = 0 und Cov(x) = I2 . Variieren Sie die Parameter, um ein Gefühl für deren Einfluss zu bekommen.
Was bewirkt insbesondere die Veränderung des Korrelationskoeffizienten ρ?
Hinweis: In R könnten die Befehle contour und persp hilfreich sein.
Aufgabe 13 (3 Punkte)
Sei x Zufallsvariable mit L(x) = IN (0, 1). Sei z Zufallsvariable mit P (z = 1) = P (z = −1) =
1
2
und seien x,
z stochastisch unabhängig. Definiere die Zufallsvariable y durch y := z · x (d.h. mit Wahrscheinlichkeit
y = x mit Wahrscheinlichkeit
1
2
1
2
ist
ist y = −x).
Veranschaulichen Sie anhand einer Simulationsstudie, dass
i) y univariat normalverteilt ist,
ii) die Zufallsvariablen x und y nicht gemeinsam multivariat normalverteilt sind.
Hinweis: Wenn mehrere Zufallsvariablen gemeinsam multivariat normalverteilt sind, dann müssen alle Linearkombinationen univariat normalverteilt sein.
Aufgabe 14 (2 Punkte)
Betrachten Sie das Beispiel 4.21 aus der Vorlesung. Hier wurden die folgenden Daten erhoben:
Anzahl Schrauben
0
10
10
0
Anzahl Muttern
0
0
3
3
Gesamtgewicht
40
185
225
75
Wählen Sie einen angemessenen Test zum Niveau α = 5%, um zu zeigen, dass die Hinzunahme einer Mutter
zu einem erhöhten Ablesewert des Gesamtgewichts führt.
Abgabe bis Dienstag, den 17.05.2016, 10.00 Uhr