¨Ubung Stochastik 2

B. Schmalfuß
Paderborn, den 22.04.08
Übung Stochastik 2
1. Übung
Poissonprozess/Normalverteilung
(I) Es sei (Xn )n∈N , Xn ∈ Rd eine Folge normalverteilter Zufallsvariablen, die im
quadratischen Mittel gegen eine Zufallsvariable X konvergiert. Man zeige, dass X
normalverteilt ist.
(II) Man weise nach, dass die fraktionale Brownsche Bewegung (H > 1/2) eine
stetige Version besitzt.
(III) Zu η exponentialverteilt mit Parameter λ, alo P ({η > t}) = e−λt . Zeige, dass
gilt:
P ({η > t + s}) = P ({η > t})P ({η > s}).
Zu obiger Gleichung ist folgende Gleichung äquivalent:
P ({η > t + s|η > s}) = P ({η > t}).
(IV) Berechne EX(t), wenn X(t) poissonverteilt mit Parameter λ ist.
(1) Zeige, dass die Exponentialverteilung, die einzige Verteilung ist, die gedächtnislos
ist.
(2) Ein Geburt–und Todesprozess X ist ein Prozess mit Zustandsraum Z+ mit den
folgenden Eigenschaften:
• X(0) = i
• P(X(t + h) − X(t) = 1|X(t) = k) = λk h + o(h)
• P(X(t + h) − X(t) = −1|X(t) = k) = µk h + o(h)
• P(Sprünge vom Betrag größer gleich 2 in (t, t + h]|X(t) = k) = o(h)
mit λk µk+1 positiv für k = 0, 1, · · · . Es sei
Pij (t) = P(X(t) = j|X(0) = i),
i, j = 0, 1, · · · .
Man gebe ein Differentialgleichungssystem für Pij an.
(3) Weise nach, dass
1
W (α2 t),
α>0
α
ein Wiener Prozess ist, falls W ein Wiener Prozess ist.
V (t) =
(4) Ein stochastische Prozess mit T = R+ oder Z+ heißt stationär, falls die endlichdimensionalen Verteilungen unabhängig von Zeitverschiebungen sind, oder was
äquivalent dazu ist, dass die Verteilung des zufälligen Vektors
(X(t1 ), · · · , X(tn ))
gleich der Verteilung von
(X(t1 + h), · · · , X(tn + h))
1
für h ∈ T ist.
Ein stochastische Prozess heißt schwach stationär, falls EX(t) = EX(t + h) und
cov(X(t1 ), X(t2 )) = cov(X(t1 + h), X(t2 + h))
gilt. Es seien A, B unabhängige Zufallsvariablen mit Mittelwert Null und Varianz
1. Man zeige, dass der Prozess
X(n) = A cos(λn) + B sin(λn),
λ ∈ [0, π]
schwach stationär ist. Für λ = 21 π ist X stationär, falls die Vektoren
(A, B), (B, −A), (−A, −B), (−B, A)
die gleiche Verteilung besitzen.
(5) Falls (X0 , X1 , . . . , Xd ) normalverteilt und jedes der Paare (X0 , Xj ), j = 1, . . . , d
unkorreliert sind, dann ist X0 unabhängig von {X1 , . . . , Xd }.
(6) Man zeige, dass der zufällige Vektor (X1 , . . . , Xd ) genau dann normalverteilt
ist, falls jede Linearkombination
λ1 X 1 + . . . + λd X d
eindimensional normalverteilt ist.
Abgabe der Übungsaufgaben bis zum 30. April 13:45 Uhr im roten Kasten Nr.5