Lösung 16 - holtiegel.de

WVV-12
Schuljahr 2012/2013
Lösungen zur Übung 16
1
Hier kommen schon einmal Lösungen zu den Stochastikaufgaben.
Aufgabe 1:
In einer Schule lernen 80% der Schülerinnen und Schüler Französisch.
(a) Wie viele, die Französisch lernen, sind unter 200 willkürlich ausgewählten Schülerinnen und Schülern zu erwarten?
Die Zufallsvariable X , die die Schüler,die Französisch belegt haben, zählt, ist binomialverteilt mit p = 0, 8 und n = 200. Der gesuchte Erwartungswert ist also
µ = 200 · 0, 8 = 160.
(b) Bestimmen Sie die 1σ−Umgebung, die 2σ−Umgebung und die 3σ−Umgebung um
den Erwartungswert und bestimmen Sie zu jeder Umgebung die Wahrscheinlichkeit!
Diese Aufgabe habe ich so gestellt, um das Problem des Rundens zu thematisieren.
√
√
√
Es ist σ = 200 · 0, 8 · 0, 2 = 32 = 4 2 ≈ 5, 66. Da es hier nicht sinnvoll ist mit
gebrochenen Werten zu arbeiten, wird gerundet:
165 X
200
P (155 ≤ X ≤ 165) =
· 0, 8k · 0, 2200−k Φ (−1, 15)
k
k=155
154, 5 − 160
165, 5 − 160
√
√
−Φ
≈ Φ
4 2
4 2
≈ Φ (0, 97) − Φ (−0, 97)
= 1 − 2 · Φ (−0, 97)
≈ 1 − 2 · 0, 1660
≈ 67%
Die durchgeführte Berechnung bezieht sich auf zwei Weisen auf die der Zufallsvariablen X zugrundeliegende Binomialverteilung: Aus der 1σ−Umgebung wird die Menge
der ganzen Zahlen, die echt in der 1σ−Umgebung liegen; hier: {155, 156, . . . , 165}.
Bei der Moivre-Laplace-Näherung werden dann die Korrekturterme berücksichtigt.
Eine Rechnung, die beides vernachlässigt liefert dann (X wird hier als normalverteilt
betrachtet):
P (160 − σ ≤ X ≤ 160 + σ) ≈ Φ (1) − Φ (−1) = 1 − 2 · Φ (−1) ≈ 1 − 2 · 0, 1587 =
68, 26%.
Entsprechend ergibt sich für die 2σ−Umgebung und die 3σ−Umgebung:
√
2σ = 8 2 ≈ 11, 31
√
3σ = 12 2 ≈ 16, 97
X normalverteilt
X binomialverteilt
P (160 − 2σ ≤ X ≤ 160 + 2σ) ≈ 95, 44%
P (149 ≤ X ≤ 171) ≈ 95, 76%
P (160 − 3σ ≤ X ≤ 160 + 3σ) ≈ 99, 74%
P (149 ≤ X ≤ 171) ≈ 99, 64%
WVV-12
Schuljahr 2012/2013
Lösungen zur Übung 16
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Aufgabe 2: Eine Umfrage soll so geplant werden, dass der wirkliche Anteil in der Bevölkerung auf 0,5% genau geschätzt werden kann. Die Sicherheitswahrscheinlichkeit soll
95,5% betragen.
Soll der Stichprobenumfang n so gewählt werden, dass die relative Häugkeit Xn eines
Merkmals, das von der Zufallsvariable X gezählt wird, mit 95,5%-Sicherheit nicht weiter
als d vom Anteil p dieses Merkmals in der Gesamtbevölkerung abweicht, so muss gelten:
P nx − p ≤ d ≥ 0, 955. Damit ist −2, 00 nσ ≤ nx − p ≤ 2, 00 nσ .
p
2
Betrachten wir d ≤ 2, 00 nσ , so ergibt sich nd ≤ 2 np (1 − p) und damit p (1 − p) ≥ nd4 .
4
Im gegebenen Fall ist d = 0, 005 und damit n ≥ 0,00000625
p (1 − p) = 640.000p (1 − p).
1
Nun ist p unbekannt. Klar ist aber, dass p (1 − p) ≤ 4 gilt. Also ist n ≥ 160.000 eine
sinnvolle Wahl des Stichprobenumfangs. Zur Wahl des Faktors 2,00 siehe z.B. Elemente
der Mathematik, Grundkurs, Seite 506.
Aufgabe 3: Gegeben sind die Funktionen f und g
durch f (x) = 14 x2 − 4
7
1 3
und g(x) = 40
x − 14 x2 − 40
x + 49
10 .
Jeder der beiden zugehörigen Graphen schlieÿt mit der x-Achse eine Fläche ein. Die beiden
Graphen miteinander schlieÿen eine weitere Fläche ein. Berechnen Sie für jede der drei
Flächen den Flächeninhalt!
Lösung folgt!
Aufgabe 4: Der Punkt Q entsteht durch Spiegelung von P (3|1|3) am Mittelpunkt M der
Strecke AB mit A (3|3|1) und B (2|2|3). Ermitteln Sie die Koordinaten von Q! Untersuchen
Sie das Viereck, welches die vier Punkte P , A, Q und B bilden!
Lösung folgt!