Übungen zur Mathematik für Geowissenschaftler II

Übungen zur Mathematik für Geowissenschaftler II
Sommersemester 2015
Priv.-Doz. Dr. M. Gnewuch
S. Vogel
Blatt 9
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Ein fairer 8-seitiger Würfel wird 1500 mal nacheinander (unabhängig) geworfen.
Bestimmen Sie unter Benutzung der Normalverteilung (zentraler Grenzwertsatz!) die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 175 mal eine 8 gewürfelt wird
(mit und ohne Verbesserung der Genauigkeit).
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Windmessung zum Auftakt der Kieler Woche: Sei
Ω = {volle Minuten zwischen 16 : 08 und 17 : 36 am 19. Juni 2015}
als Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Wir bezeichnen mit X(t) die Windrichtung am Kieler Leuchtturm zum Zeitpunkt t ∈ Ω. Folgende Messungen liegen uns vor1 :
Uhrzeit
17:36
17:28
17:20
17:12
17:04
16:56
16:48
16:40
16:32
16:24
16:16
16:08
Windrichtung in Grad
279
279
280
285
275
272
276
279
276
273
276
274
1. Schätzen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.
2. Nehmen Sie an, dass die Standardabweichung von X mit der geschätzten
übereinstimmt. Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine
Mindestwahrscheinlichkeit an, mit der die Windgeschwindigkeit zu einem
zufälligen Zeitpunkt t ∈ Ω höchstens 5 Grad vom Erwartungswert von X
abweicht.
3. Wie hoch ist die relative Häufigkeit der Messwerte, die höchstens 5 Grad
vom Mittelwert der Messwerte abweichen?
1 Quelle:
Geomar
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Die durchschnittliche Windgeschwindigkeit im Mai am Kieler Leuchtturm beträgt 13 Knoten. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wind zu einem zufälligen
Zeitpunkt im Mai eines Jahres stärker als mit 10 Knoten weht, beträgt 58%.
Es ist experimentell bekannt, dass die Windgeschwindigkeit annähernd lognormalverteilt ist, i.e., für die Zufallsvariable
X(t) := {Windgeschwindigkeit in Knoten zum Zeitpunkt t im Mai}
(1)
ist die Zufallsvariable ln(X) normalverteilt (ln = „Logarithmus Naturalis“, der
natürliche Logarithmus zur Basis e). Aus obigen Daten kann man errechnen,
dass ln(X) (2, 41 , 0, 55)-normalverteilt ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufällig gewählten Zeitpunkt im Mai des nächsten Jahres
mindestens 22 Knoten erreicht wird.
Aufgabe 4 (Freiwillige Aufgabe; 4 Zusatzpunkte)
Sei p ∈ (0, 1]. Eine Zufallsvariable X mit Werten in den natürlichen Zahlen
heißt geometrisch verteilt zum Parameter p, falls für alle n ∈ gilt
P (X = n) = p(1 − p)n−1 . Zeigen Sie: es gilt
N
N
E(X) = 1/p.
N
Hinweis: Für eine Zufallsvariable
Y mit Werten in
ist P
der Erwartungswert
P∞
∞
E(Y ) über E(Y ) := k=1 kP (Y = k) definiert. Ferner gilt k=0 xk = 1/(1−x)
für alle x ∈ (0, 1) (Formel für die geometrische Reihe). Der zu berechnende
Erwartungswert lässt sich nun mit Hilfe der Formel und mit dem Rechentrick
„Differentiation unter dem Summenzeichen“ (ähnlich wie bei der Berechnung
der Summe in Aufgabe 5(c) auf Blatt 1, s. Musterlösung) bestimmen.
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Schokoladenriegel der Marke „Smack!“ enthalten in diesem Sommer aus aktuellem Anlass jeweils eines von 10 Sammelbildern von (ehemaligen) Fußballfunktionären, die von Konsumenten in das „Dream-Team auf der Ermittelungsliste des
FBI!“ gewählt wurden. Die verschiedenen Bilder kommen dabei mit der gleichen
relativen Häufigkeit vor. Was ist die erwartete Anzahl von Schokoriegeln, die Sie
kaufen müssen, um den kompletten Satz zusammen zu haben?
Anleitung: Für i = 1, 2, . . . , 10 sei die Zufallsvariable Xi die Anzahl der Riegel,
die Sie kaufen, bis Sie i verschiedene Sammelbilder zusammen zu haben. Ferner
sei X0 := 0. Überlegen Sie sich, dass die Zufallsvariable Yi := Xi − Xi−1 geometrisch verteilt zu einem Parameter pi ∈ (0, 1] ist. Nutzen Sie die Behauptung
aus Aufgabe 4 (auch wenn Sie diese nicht bearbeitet haben oder nicht beweisen
konnten) und die Additivität des Erwartungswerts, also Satz 4.5(i).
Abgabe bis Dienstag, den 30.6.2015, 10:15 Uhr im Schrein (1. Stock) bzw. im
Briefkasten (3. Stock).