und Organisationswissenschaften Prof. Dr. G. Uebe Frühjahr

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR HAMBURG
Fachbereich Wirtschafts- und Organisationswissenschaften
Prof. Dr. G. Uebe
Dr. M. Schäfer
Dipl.-Math. F. Zimmermann
Frühjahr-Trimester 2001
Übungen zu Statistik I
Blatt 9
Aufgabe 44:
Die Zufallsvariable Y ist normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ2.
a) Es sei µ = 3 und σ2 = 4. Wie groß ist P(Y > 2), P(Y ≤ 0), P(Y = 3), P(Y ≤ 3)?
b) Es sei µ = 3 und P (|Y| ≤ 3) = 0.3413. Wie groß ist die Standardabweichung von Y?
Y
c) Es sei P(Y-µ ≤ 4) = 0.9452 und P( σ ≤ 3) = 0.9953. Bestimmen Sie µ und σ.
1
3
d) Es sei Z = 2 Y - 2 . Bestimmen Sie E(Z) und var(Z).
Aufgabe 45:
Das Gewicht X (in Gramm) von Hühnereiern ist normalverteilt mit Erwartungswert µ und
Varianz σ2.
a1) Für eine bestimmte Hühnersorte ist µ = 50 und σ2 = 25.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Hühnerei dieser Sorte mehr als
46g, aber weniger als 52g wiegt.
a2) Das Eiergewicht einer zweiten Sorte von Hühnern beträgt 80% der in Teil a1)
angeführten Eier. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ei der zweiten
Hühnersorte höchstens 38g wiegt.
b) Es sei jetzt die Varianz unbekannt. Man weiß aber, dass der Erwartungswert 50 ist und
dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei mindestens 56g wiegt, genau 0.0668 beträgt.
Berechnen Sie σ.
Aufgabe 46:
Es bezeichne die Zufallsvariable X den Umfang (in cm) einer quadratischen Kachel, die
einem bestimmten Produktionsprozess entstammt. X sei normalverteilt mit dem
Erwartungswert µ und der Varianz σ2.
a) Es sei µ = 56 und σ = 2. Berechnen Sie P(X>57).
b) Es sei µ = 55 und σ unbekannt. Man weiß, dass P(X<30) = 0.0062 ist. Berechnen Sie σ.
c) Es seien µ und σ unbekannt. Wie groß ist P(X>µ)?
Aufgabe 47:
Eine Unternehmung sieht sich auf dem Absatzmarkt zufällig schwankender Nach-frage
gegenüber. Die Höhe der Nachfrage X sei N(6,4) -verteilt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt eine Nachfrage von mindestens 4 ein?
b) Wie groß ist der Erwartungswert der Nachfrage?
c) Die Produktionskosten k, die der Unternehmung bei einer Nachfrage der Höhe x
entstehen, seien k = 2x + 10.
Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz der auftretenden Produktionskosten an.
Aufgabe 48:
Das Gewicht einer Tüte Erdnüsse kann als normalverteilte Zufallsvariable X mit dem
Erwartungswert µ und der Varianz σ2 aufgefasst werden.
a) Es sei µ unbekannt und σ2 = 4. Außerdem weiß man, dass P(X > 123) = 0.8413.
Berechnen Sie µ.
b) Es sei µ = 120 und var(X) = 9.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tüte mindestens 114 g wiegt?
2. Wie schwer muss eine Tüte mindestens sein, um zu den 25% der schwersten
Tüten zu gehören? Bestimmen Sie den 50%-Punkt von X.
c) Es seien µ und σ unbekannt. Für welches c gilt: P(µ-cσ < X < µ+cσ) = 0.9544 ?
Aufgabe 49:
Sei X eine Zufallsvariable mit Mittelwert 300 und Varianz 1600. Sei p1 = P(250 ≤ X ≤ 350)
und p2 = P(290 ≤ X ≤ 310).
a) Berechnen Sie p1 und p2, wenn X normalverteilt ist.
b) Bestimmen Sie Untergrenzen für p1 und p2, wenn X einer beliebigen Verteilung genügt.
Aufgabe 50:
Von der N (µ, σ2)-verteilten Zufallsvariable X sei bekannt, daß P(X>150)=0.159 und
P(X<90)=0.023 ist.
Bestimmen Sie µ und σ2.