25. - 29. 1. 2016 - Fachrichtung Mathematik

TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik
Prof. K. Eppler
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Wintersemester 15/16
Mathematik III
14. Übung (25. - 29. 1. 2016)
47. Man weise nach, dass die Funktionen f mit
 1
x ≤ −1

 2x2 für
(a) f (x) =
0 für −1 < x ≤ 1

 1
x >1
2x2 für
(
0 für x ≤ 1
(b) f (x) =
3
für x > 1
x4
die Eigenschaften einer Dichtefunktion haben und ermittle die zugehörigen Verteilungsfunktionen.
48. Man ermittle für eine mit dem Parameter λ = 2 exponentialverteilte Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten
1
a) P (X < 2),
b) P (X ≥ 4),
c) P (X < ),
2
d) P (X < 2|X < 4),
e) P (X ≥ 4|X ≥ 3).
Außerdem ermittle man diejenigen Werte α, für die gilt:
1
1
g) P (X ≥ α + 1|X ≥ 1) = .
f) P (X < α) = ,
2
2
49. Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X) = 1 und var(X) = 4. Man ermittle
a) P (X ≥ 1)
b) P (X < 2)
c) P (|X| > 4)
d) P (0 ≤ X < 2)
e) P (|X − 1| > 6)
f) P (X 2 < 4)
und man bestimme die Konstanten α so, dass gilt
g) P (X < α) = 0.5
h) P (X ≥ α) = 0.0548
i) P (|X − µ| < α) = 0.95.
50. Bei einer Lieferung von Kondensatoren sei bei zufälliger Auswahl deren Kapazität K (in µF ) normalverteilt mit E(K) = 200 und der Varianz var(K) = 25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass ein zufällig ausgewählter Kondensator fehlerbehaftet ist, wenn dessen Kapazität K
a) mindestens 198 µF betragen soll,
b) höchstens 202 µF betragen darf,
c) maximal um 5 µF vom Sollwert 200 µF abweichen darf?
d) Bei welchen Toleranzgrenzen 200 − α (in µF) und 200 + α (in µF) ist die Wahrscheinlichkeit für
das Auftreten eines fehlerbehafteten Kondensators, d.h. |K − 200| > α , kleiner als 0.001 ?
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51. Zwei Ohmsche Widerstände werden in Reihe geschaltet. Die Werte R1 bzw. R2 (in Ω) für diese
Widerstände seien unabhängig und normalverteilt mit µ1 = 500 und σ1 = 10 bzw. µ2 = 200 und
σ2 = 4. In welchen Grenzen 700 − µ̃ und 700 + µ̃ liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
99% der Gesamtwiderstand?
52. Bei der automatischen Abfüllung von 1/2–l–Milchflaschen wird das abgefüllte Flüssigkeitsvolumen F
(in cm3 ) als normalverteilt mit den Parametern µ = 500 und σ = 5 angenommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 1/2–l–Milchflasche weniger als 490 cm3
enthält?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Abfüllung die eingefüllte Milch überläuft, wenn
α) das Volumen einer 1/2–l–Milchflasche 510 cm3 beträgt,
β) das Volumen der Milchflasche unabhängig vom abgefüllten Flüssigkeitsvolumen normalverteilt mit den Parametern µF = 510 und σF = 2 ist?