A 8-2 Normalverteilung
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Schule Modul • Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg • Mathematik 8 2: Normalverteilung Thema • Arbeitsblatt A 8-2: Normalverteilung Viele „natürlich“ vorkommende, ommende, voneinander voneina der unabhängige Größen sind normalverteilt („nv“): Die Formel für die dargestellte Wahrscheinlichkeits-Funktion Funktion ist sehr kompliziert und wird (von uns) nicht benötigt. Wahrscheinlichkeiten iten werden über Integrale berechnet: b (Mittelwert , Standardabweichung ) 1. Wahrscheinlichkeit von -∞ bis a 1 2. Wahrscheinlichkeit von b bis +∞ 3. Wahrscheinlichkeit von a bis b 4. Wahrscheinlichkeit von -∞ bis +∞ = 1 Tipp: Laden und installieren Sie die Software „Normalverteilung“ von http://www.oebv.at/list.php?page=titelfamilie&titelfamilie=Malle+Mathematik+verstehen&m odul=schulbuchplus 2 Wie ändert sich die Form der NV, wenn sich μ und σ ändern: • • Eine Veränderung von μ verschiebt die NV entlang X-Achse (X…zufällige Größe) Eine Verkleinerung von σ macht die Kurve enger und erhöht die Kurve rund um den Mittelwert μ : (kleineres σ…pink) (σ kann/muss man vom Wendepunkt bis zur Symmetrieachse einzeichnen) (Geogebra-Grafik: Befehl „Normal“) Da man früher mit Tabellen arbeiten musste um die Integrale zu berechnen wurde die Standard-NV eingeführt: Durch die Umrechnung („Transformation“) X −µ Z= σ der Zufallsvariablen X der NV in die Zufallsvariable Z der Standard-NV kann man für alle NV-ungen dieselbe Tabelle benutzen (Φ-Tabelle im Buch oder in der Formelsammlung). Für viele Rechnungen ist die Z-Transformation ebenfalls sehr praktisch. 1. 2. 3. 4. Wahrscheinlichkeit von -∞ bis z: Wahrscheinlichkeit von z bis ∞: Wahrscheinlichkeit von z1 bis z2: Wahrscheinlichkeit von -z bis +z: Φ(z) 1- Φ(z) (warum?) Φ(z2)- Φ(z1) 2 Φ(+z)-1 (Streubereich) (warum?) Der Streubereich 2 Φ(+z)-1 gibt die Wahrscheinlichkeit P(μ-z ો ≤X≤ μ+z ો) an, also die Wahrscheinlichkeit, dass X in einem Bereich von z mal ો um den Mittelwert herum „liegt“, also: P(μ-z ો ≤X≤ μ+z ો) =2 Φ(+z)-1 Streubereich 3 Besondere Bedeutung haben Streubereiche z. B. bei der Qualitätssicherung von technischen, medizinischen oder wirtschaftlichen wir Produktionsprozessen. Die Verteilungs- Funktion(en) ändern sich wie folgt mit und : (warum?) Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Für große Werte von n können näherungsweise der Mittelwert =n p und die Varianz 2 =n p (1-p)der Binomialverteilung für die Normalverteiilung verwendet werden. den. Es gibt noch genauere Näherungen, je nachdem ob man die GrenGre zen von Intervallen „mitnimmt“ (offene oder geschlossene Intervalle). Inte Diese im Schulbuch behandelte „Stetigkeitskorrektur“ überlassen überla sen wir guten Gewissens dafür für konzipierten Computerprogrammen. Siehe dazu Beispiel 7. 4 Beispiele (das war sehr wahrscheinlich): 1. Schraubendurchmesser sind normalverteilt mit ૄ= 3,5 mm und ો=0,4 mm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass der Durchmesser einer zufällig herausgenommen Schraube a. höchstens 3,4 mm beträgt [40,1%] b. mindestens 3,7 mm beträgt [30,8%] c. mindestens 3,4 und höchstens 3,7 mm beträgt? [29%] 2. Schraubendurchmesser sind normalverteilt , ૄ= 5 mm und ો=0,8 mm. Bei wie viel % der Schrauben weicht der Durchmesser um höchstens 2mm vom Sollwert ab? [99%] 3. Schraubendurchmesser sind normalverteilt mit ૄ= 3,5 mm und ો=0,4 mm. Welcher Durchmesser wird von 75% der Schrauben unterschritten oder erreicht? [3,77mm] 4. Schraubendurchmesser sind normalverteilt mit ૄ= 3,5 mm und ો=0,4 mm. Ermitteln Sie ein symmetrisches Intervall um den Mittelwert, im dem 80% der Schraubendurchmesser „liegen“. [2,98mm;4,02mm] 5. Weinmaschine füllt normalverteilt 0,75 Liter-Flaschen ab, ો=0,01 Liter. (endlich keine Schrauben mehr ;-) ) Aus Qualitätssicherheitsgründen (Reklamationen u.a.) möchte die Firma etwas mehr einfüllen. Wie viel Liter Wein muss die Maschine im Mittel einfüllen, wenn nur 2% aller Flaschen ≤ 0,75 Liter enthalten sollen? [0,77 Liter] 6. Weinmaschine füllt normalverteilt ૄ =0,75 Liter-Flaschen ab. Wie groß darf ો höchstens sein, wenn 98% der Flaschen zwischen 0,72 und 0,78 Liter enthalten sollen? [0,01] 7. Eine („faire“) Münze wird 1000-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 520-mal „Zahl“ kommt? [90%] 8. In ein medizinisches Programm zur Behandlung einer Krankheit X -die durch die Bestimmung der Konzentration des Blutfaktors F diagnostiziert wird- wird man nur aufgenommen, wenn man zu den 10% der Personen gehört, deren Werte des Blutfaktors F am höchsten sind. Ab welcher Konzentration des Blutfaktors F (Mittelwert der Bevölkerung= 100 ng/ml, Standardabweichung =15 ng/ml) wird man in das Programm aufgenommen? [119,23 ng/ml] 9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit , dass der Wert einer Zufallsvariablen a. im Intervall [μ-1ો, μ+1ો] [68,27 %] b. im Intervall [μ-2ો, μ+2ો] [95,45 %] c. im Intervall [μ-3ો, μ+3ો] [99,73 %] 5 Literatur und Übungen für Zuhause: Sehr empfehlenswert ist das „alte“ 8er Buch von Malle u.a.: Mathematik verstehen 8, öbv Verlag, 2007, das könnten Sie sich eventuell ausleihen (Bibliotheken) oder eventuell erwerben. Sehr klare Zusammenfassungen, sehr klare Beispiele, zu jedem Standardproblem wird ein Beispiel vorgerechnet. „Unser“ Schulbuch: Reichel u.a.: Mathematik verstehen 8, öbv Verlag, 2007, Seiten 123 bis 133 6
