A 8-2 Normalverteilung

Schule
Modul
• Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg
• Mathematik 8
2: Normalverteilung
Thema • Arbeitsblatt A 8-2:
Normalverteilung
Viele „natürlich“ vorkommende,
ommende, voneinander
voneina der unabhängige Größen sind
normalverteilt („nv“):
Die Formel für die dargestellte
Wahrscheinlichkeits-Funktion
Funktion ist sehr
kompliziert und wird (von uns) nicht
benötigt.
Wahrscheinlichkeiten
iten werden über Integrale berechnet:
b
(Mittelwert , Standardabweichung )
1. Wahrscheinlichkeit von -∞ bis a
1
2. Wahrscheinlichkeit von b bis +∞
3.
Wahrscheinlichkeit von a bis b
4. Wahrscheinlichkeit von -∞ bis +∞ = 1
Tipp:
Laden und installieren Sie die Software „Normalverteilung“ von
http://www.oebv.at/list.php?page=titelfamilie&titelfamilie=Malle+Mathematik+verstehen&m
odul=schulbuchplus
2
Wie ändert sich die Form der NV, wenn sich μ und σ ändern:
•
• Eine Veränderung von μ verschiebt die NV entlang X-Achse (X…zufällige Größe)
Eine Verkleinerung von σ macht die Kurve enger und erhöht die Kurve rund um den
Mittelwert μ : (kleineres σ…pink) (σ kann/muss man vom Wendepunkt bis zur Symmetrieachse einzeichnen)
(Geogebra-Grafik: Befehl „Normal“)
Da man früher mit Tabellen arbeiten musste um die Integrale zu berechnen
wurde die Standard-NV eingeführt:
Durch die Umrechnung („Transformation“)
X −µ
Z=
σ
der Zufallsvariablen X der NV in die Zufallsvariable Z der Standard-NV
kann man für alle NV-ungen dieselbe Tabelle benutzen (Φ-Tabelle im Buch
oder in der Formelsammlung).
Für viele Rechnungen ist die Z-Transformation ebenfalls sehr praktisch.
1.
2.
3.
4.
Wahrscheinlichkeit von -∞ bis z:
Wahrscheinlichkeit von z bis ∞:
Wahrscheinlichkeit von z1 bis z2:
Wahrscheinlichkeit von -z bis +z:
Φ(z)
1- Φ(z) (warum?)
Φ(z2)- Φ(z1)
2 Φ(+z)-1 (Streubereich) (warum?)
Der Streubereich 2 Φ(+z)-1 gibt die Wahrscheinlichkeit P(μ-z ો ≤X≤ μ+z ો) an,
also die Wahrscheinlichkeit, dass X in einem Bereich von z mal ો um den Mittelwert herum „liegt“, also:
P(μ-z ો ≤X≤ μ+z ો) =2 Φ(+z)-1
Streubereich
3
Besondere Bedeutung haben Streubereiche z. B. bei der Qualitätssicherung von technischen, medizinischen oder wirtschaftlichen
wir
Produktionsprozessen.
Die Verteilungs- Funktion(en) ändern sich wie folgt mit
und : (warum?)
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Für große Werte von n können näherungsweise der Mittelwert =n p und die
Varianz 2 =n p (1-p)der Binomialverteilung für die Normalverteiilung verwendet
werden.
den. Es gibt noch genauere Näherungen, je nachdem ob man die GrenGre
zen von Intervallen „mitnimmt“ (offene oder geschlossene Intervalle).
Inte
Diese im
Schulbuch behandelte „Stetigkeitskorrektur“ überlassen
überla sen wir guten Gewissens
dafür
für konzipierten Computerprogrammen.
Siehe dazu Beispiel 7.
4
Beispiele (das war sehr wahrscheinlich):
1. Schraubendurchmesser sind normalverteilt mit ૄ= 3,5 mm und ો=0,4 mm.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass der Durchmesser einer zufällig herausgenommen Schraube
a. höchstens 3,4 mm beträgt
[40,1%]
b. mindestens 3,7 mm beträgt
[30,8%]
c. mindestens 3,4 und höchstens 3,7 mm beträgt?
[29%]
2. Schraubendurchmesser sind normalverteilt , ૄ= 5 mm und ો=0,8 mm.
Bei wie viel % der Schrauben weicht der Durchmesser um höchstens 2mm vom
Sollwert ab?
[99%]
3. Schraubendurchmesser sind normalverteilt mit ૄ= 3,5 mm und ો=0,4 mm.
Welcher Durchmesser wird von 75% der Schrauben unterschritten oder erreicht?
[3,77mm]
4. Schraubendurchmesser sind normalverteilt mit ૄ= 3,5 mm und ો=0,4 mm.
Ermitteln Sie ein symmetrisches Intervall um den Mittelwert, im dem 80% der
Schraubendurchmesser „liegen“.
[2,98mm;4,02mm]
5. Weinmaschine füllt normalverteilt 0,75 Liter-Flaschen ab, ો=0,01 Liter.
(endlich keine Schrauben mehr ;-) )
Aus Qualitätssicherheitsgründen (Reklamationen u.a.) möchte die Firma etwas
mehr einfüllen. Wie viel Liter Wein muss die Maschine im Mittel einfüllen, wenn
nur 2% aller Flaschen ≤ 0,75 Liter enthalten sollen?
[0,77 Liter]
6. Weinmaschine füllt normalverteilt ૄ =0,75 Liter-Flaschen ab.
Wie groß darf ો höchstens sein, wenn 98% der Flaschen zwischen 0,72 und 0,78
Liter enthalten sollen?
[0,01]
7. Eine („faire“) Münze wird 1000-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 520-mal „Zahl“ kommt?
[90%]
8. In ein medizinisches Programm zur Behandlung einer Krankheit X -die durch die
Bestimmung der Konzentration des Blutfaktors F diagnostiziert wird- wird man
nur aufgenommen, wenn man zu den 10% der Personen gehört, deren Werte des
Blutfaktors F am höchsten sind. Ab welcher Konzentration des Blutfaktors F
(Mittelwert der Bevölkerung= 100 ng/ml, Standardabweichung =15 ng/ml)
wird man in das Programm aufgenommen?
[119,23 ng/ml]
9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit , dass der Wert einer Zufallsvariablen
a. im Intervall [μ-1ો, μ+1ો]
[68,27 %]
b. im Intervall [μ-2ો, μ+2ો]
[95,45 %]
c. im Intervall [μ-3ો, μ+3ો]
[99,73 %]
5
Literatur und Übungen für Zuhause:
Sehr empfehlenswert ist das „alte“ 8er Buch von
Malle u.a.: Mathematik verstehen 8, öbv Verlag, 2007,
das könnten Sie sich eventuell ausleihen (Bibliotheken) oder eventuell
erwerben.
Sehr klare Zusammenfassungen, sehr klare Beispiele, zu jedem Standardproblem wird ein Beispiel vorgerechnet.
„Unser“ Schulbuch:
Reichel u.a.: Mathematik verstehen 8, öbv Verlag, 2007, Seiten 123 bis 133
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