5. Übungsblatt - Institut für Mathematik

Institut fuer Mathematik
der Universität Würzburg
Prof. Dr. Manfred von Golitschek
Julia Koch
Wintersemester 2013/14
Würzburg, den 9.1.2014
5. Übung
zur Mathematik für Studierende der Informatik III
Aufgabe 5.1
Gegeben seien 0 < p < 1, sowie die Zufallsvariable Yn ∼ B(n, p), n ∈ N.
(a) Begründen Sie, warum für großes n ∈ N die Aussage
i
h
p
P |Yn − np| ≤ 2 np(1 − p) = 0.954
näherungsweise gilt.
(3 Punkte)
(b) Sie würfeln mit einem Laplace-Würfel n = 180-mal. Wie groß ist ungefähr die
Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Zahl 6
(i) höchstens 15(ii) höchstens 20(iii) höchstens 25(iv) höchstens 30(v) mindestens 20- mal würfeln?
(2 Punkte)
Aufgabe 5.2
Eine fränkische Winzergenossenschaft füllt eine Weinsorte in Bocksbeutel ab. Messungen
haben ergeben, dass die Füllmenge recht genau normalverteilt ist mit einer durchschnittlichen Füllmenge von 752 ml bei einer Standardabweichung σ = 2 ml . Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass
(a) die Soll-Füllmenge von 750 ml eines Bocksbeutels unterschritten wird, (1 Punkt)
(b) in einem Bocksbeutel mindestens 756 ml enthalten sind,
(1 Punkt)
(c) in einem Bocksbeutel zwischen 748,71 und 757,16 ml enthalten sind? (2 Punkte)
(d) Durch Einstellungen an der Abfüllmaschine kann man die durchschnittliche Füllmenge erhöhen ohne die Standardabweichung zu verändern. Wie hoch sollte diese
gewählt werden, damit die Soll-Füllmenge nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit
von höchstens 0,05 unterschritten wird?
(2 Punkte)
Aufgabe 5.3
Es seien X und Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen. Beweisen Sie
E (X − Y )2 = V (X) + E (E(X) − Y )2 .
(2 Punkte)
Die folgenden Aufgaben sollen Ihnen einen Eindruck vermitteln, welches Niveau Sie in der Klausur erwarten können. Außerdem können Sie durch Bearbeiten dieser Aufgaben Bonuspunkte
sammeln:
Aufgabe 5.4
Zwei Laplace-Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wir sprechen von einem Paar, wenn
die beiden geworfenen Zahlen übereinstimmen.
(a) Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paar geworfen wird ?
(1 Bonuspunkt)
(b) Zwei Würfel werden n-mal gleichzeitig geworfen und die Anzahl der Paare gezählt.
Die Anzahl der Paare werde durch eine Zufallsvariable Xn beschrieben. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit
P [Xn = k],
k = 0, 1, . . . , n?
Berechnen Sie den Erwartungswert E(Xn ) und die Varianz V (Xn ) für n = 10 und
n = 100.
(3 Bonuspunkte)
Aufgabe 5.5
Für die Standard-Normalverteilung kennen wir aus der Vorlesung die Werte
Φ(−1) ≈ 0.16 , Φ(−1.645) ≈ 0.05 , Φ(−2) ≈ 0.023.
Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 3.0 und Varianz σ 2 =
0.04, also X ∼ N (µ, σ 2 ). Berechnen Sie die Zahl α > 0, für die
P [|X − µ| ≤ α] = 0.90
erfüllt ist.
(2 Bonuspunkte)
Die Klausur im Sommersemester findet voraussichtlich am 2.4.2014
um 10 Uhr im Turing-Hörsaal statt.
Abgabe bis Donnerstag, 16.1.2014, 8.30 Uhr, im Briefkasten bei der Teilbibliothek Physik/Informatik.