Hausaufgabe 9 Abgabe am 10. Juni bzw. am 12. Juni

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Stochastik
Hausaufgabe 9
Abgabe am 10. Juni bzw. am 12. Juni in der Übung
Aufgabe 1. Beim Handball gewinnt Team A gegen Team B mit α : β, wobei β ∈ N0
und α ∈ N, α > β. Christoph erfährt von dem Ergebnis und fragt sich nun wie groß die
Wahrscheinlichkeit ist, dass Team A während des ganzen Spiels nie in Rückstand geraten
ist. Er nimmt dabei an, dass alle möglichen Reihefolgen der Tore gleich wahrscheinlich
sind. Nach kurzem Überlegen ahnt er, dass das Spiegelungsprinzip ihm helfen kann.
Helfen Sie!
Aufgabe 2. Wir betrachten die symmetrische einfache Irrfahrt (Xn )n∈N0 auf Z mit
Start in X0 = 0 auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Für a ∈ Z und ω ∈ Ω
sei Ta (ω) = inf{n ∈ N | Xn (ω) = a}. Insbesondere ist T0 die erste Rückkehrzeit zum
Startpunkt.
(a) Zeigen Sie für alle a ∈ Z, dass Ta : Ω → N ∪ {∞} messbar ist.
(b) Zeigen Sie für a > 0:
P(T0 > n, Xn = a) = P(Ta = n).
(c) Zeigen Sie für a > 0:
nP(Ta = n) = aP(Xn = a).
Gilt diese Formel auch für a = 0?
Aufgabe 3. Eine Münze wird wiederholt geworfen. Die einzelnen Würfe sind unabhängig
mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) für Kopf. Sei E das Ereignis, dass r > 1 mal hintereinander Kopf fällt, ohne dass irgendwann zuvor s > 1 mal in Folge Zahl geworfen wurde.
Weiter sei X1 der Ausgang des ersten Wurfs. Zeigen Sie
P(E | X1 = Kopf) = pr−1 + (1 − pr−1 )P(E | X1 = Zahl).
Finden Sie eine ähnliche Formel für P(E | X1 = Zahl) und berechnen Sie P(E).
Zusatzaufgabe: Prüfen Sie Ihr Ergebnis für P(E) auf Herz und Nieren.
Aufgabe 4. Sei K = {x ∈ R2 : |x| ≤ 1} die Einheitskreisscheibe und Z = (Z1 , Z2 ) eine
K-wertige Zufallsvariable (auf einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)) mit
Gleichverteilung UK auf K. Stellen Sie Z in Polarkoordinaten (R, ψ) dar und zeigen
Sie, dass die Zufallsvariablen R und ψ unabhängig sind. Welcher Verteilung genügen ψ
und R2 ?