Biometrie und Methodik (Statistik)

Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09
5. Übungsblatt: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Verteilungen
Aufgabe 1. Durch welche Verteilungen können Sie die Binomialverteilung in den folgenden
Anwendungsbeispielen approximieren?
Situation
Anzahl Deutsche
die Geburtstag am
4.ten März haben
Poissonverteilung
Normalverteilung
keine von beiden
Eine elektronische Firma
liefert 2000 Bauteile.
Jedes Bauteil ist mit
Wahrscheinlichkeit 1/500
(unabhängig von allen anderen)
defekt. Gesucht ist
die Wahrscheinlichkeit,
dass eine gewisse Anzahl
Bauteile defekt sind.
Anzahl Haustiere
in deutschen Familien
Anzahl Tage in einem Jahr
an welchen die Temperatur in Bonn
unter −20C ◦ liegt
Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schädling eine Pflanzensorte angreift, betrage
10%. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Sorte in einem bestimmten Jahr Trockenheitsschäden
erleidet, betrage 20%. Die Wahrscheinlichkeit, dass Trockenheitsschäden und Schädlingsbefall
miteinander einhergehen, betrage 5%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass folgende
Ereignisse eintreten? Antworten Sie durch ankreuzen des richtigen Wertes:
Nr. Ereignis
5% 15% 75% 80%
2.a) Weder Schädlingsbefall noch Trockenheitsschäden 2.b) Schädlingsbefall aber keine Trockenheitsschäden
1
Aufgabe 3. In einen Fahrkartenautomaten wird ein Gerät installiert, das in der Lage ist,
einen gefälschten Schein mit 99%-iger Sicherheit zu erkennen. Echte Scheine hält es mit 99.9%
für echt, aber mit 0.1% für unecht. Man weiss, dass c.a. jeder 10.000-te Geldschein im Umlauf eine Fälschung ist. Beantworten Sie die folgenden Fragen durch ankreuzen von Ja oder Nein:
Nr.
3.a)
3.b)
Frage
Wenn der Automat die Bahnhofspolizei alarmiert, wenn er einen Schein
als gefälscht einstuft, würde es dann zu vielen Fehlarlarmen kommen?
Wenn jemand den Automaten absichtlich mit einem gefälschten Schein
füttert, dann wird dieser Schein sogar seltener zurückgewiesen als ein echter Schein
Ja
Nein
Aufgabe 4. Betrachten Sie das Diagramm der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
zum Parameter λ = 0.5.
FX (x)
1.00
0.75
0.50
0.25
0
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 x
Welche Aussagen über eine zum Parameter λ = 0.5 exponentialverteilte Zufallsvariable X
treffen zu? Antworten Sie durch ankreuzen von Ja oder Nein!
Nr.
4.a)
4.b)
Aussage
P (X ≤ 3.5) ≥ 0.75
P (1 < X ≤ 2.5) ≥ 0.5
Ja
Nein
Aufgabe 5. Eine Zufallsvariable X kann entweder binomialverteilt zu den Parametern
n = 5 und p = 0.4 sein, X ∼ B(0.4, 5), oder hypergeometrisch verteilt zu den Parametern n = 5,
M = 4 und N = 10, X ∼ H(5, 4, 10). Entscheiden Sie aufgrund der unten gemachten Angaben
durch ankreuzen, ob es sich um eine B(0.4, 5) oder eine H(5, 4, 10) verteilte Zufallsvariable
handelt (verschiedene Antworten in a) und b) möglich).
Nr. Angabe (ggf. gerundet) B(0.4, 5) H(5, 4, 10)
2 = 0.666̄
5.a) σX
5.b) P (X = 5) = 1%
2
Aufgabe 6. Ein Versuch, der jeweils mit p = 50% Wahrscheinlichkeit funktioniert und mit
50% fehlschlägt, wird 100 mal wiederholt. Die Wiederholungen sollen unabhängig von einander
sein. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der gelungenen Versuche an.
a) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X?
b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X.
c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zahl X der gelungenen Versuchswiederholungen zwischen 40 und 60 liegt. Verwenden Sie dazu die approximative Normalverteilung.
d) Geben Sie einen Wert x(0.9) an, so dass die Anzahl X der gelungenen Versuche zu 90%
kleiner oder gleich ist, als dieser Wert. Verwenden Sie wiederum die approximative Normalverteilung.
e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der gelungenen Versuche zwischen 50 und
58? Verwenden Sie die approximative Normalverteilung zur Beantwortung der Frage.
3