Mit Formel und Taschenrechner Binomialverteilung

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Mit Formel und Taschenrechner
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Binomialverteilung
Einführung
Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Hierbei wird eine Serie von
Zufallsexperimenten betrachtet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und
Misserfolg. Eine binomialverteilte Zufallsvariable beschreibt dann die Anzahl der Erfolge in dieser
Serie. Eine Zufallsvariable X kann als binomialverteil angesehen werden, wenn die folgenden
Kriterien erfüllt sind:
Die einzelnen Zufallsexperimente sind unabhängig voneinander
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist in jedem einzelnen
Zufallsexperiment gleich
In den einzelnen Zufallsexperimenten gibt es nur zwei mögliche
Ergebnisse
Einzelwahrscheinlichkeit
Ist die Zufallsvariable X binomialverteilt, dann wird mit Bn,p (k) die Wahrscheinlichkeit bezeichnet,
in n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, wobei p die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, in einem
Versuch einen Erfolg zu erzielen. Sie lässt sich mit folgender Formel berechnen:
Bn,p (k) =
n
(k)
⋅ ⋅ −
p
k
(1
n
p)
−
k
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
≤
bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge in n Versuchen, wenn X
binomialverteilt mit den Parametern n und p ist. Diese können mit folgender Formel berechnet
P(X
k)
werden:
P(X
≤
k
k) =
∑
Bn,p (i) = Bn,p (0) + Bn,p (1)+. . . +Bn,p (k)
i=0
Dabei gelten folgende Rechenregeln:
P(X
P(a
≥ − ≤ −
≤ ≤
≤ − ≤ −
k) = 1
X
P(X
k
b) = P(X
b)
1)
P(X
a
1)
Für große k ist es oft mühsam, jede Einzelwahrscheinlichkeit in den Taschenrechner einzutippen.
Hast du einen GTR oder CAS, so kannst du kumulierte Wahrscheinlichkeiten auch über das
Stochastik-Menü berechnen. Dort findest du einen entsprechenden Befehl. Im
wissenschaftlichen Taschenrechner, kannst du je nach Modell auch Summenformeln eingeben,
die dir lange Eingaben ebenfalls ersparen.
Beispiel
Wir betrachten das fünfmalige Werfen eines gleichmäßigen sechsseitigen Würfels, wobei wir nur
die Ergebnisse „Es wird eine sechs gewürfelt“ und „Es wird keine sechs gewürfelt“ betrachten.
Wir bezeichnen eine 6 hier als Gewinn.
Wir können nun die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Gewinne mit Hilfe der Binomialverteilung
berechnen: Sei X die Zufallsvariable , die die Anzahl der Gewinne im angegebenen Versuch
beschreibt. Dann ist X binomialverteilt mit n
Gesucht ist B5,
1
6
(2) =
5
( 2)
⋅
2
1
(
6
)
⋅
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca.
Zahl 6.
3
5
(
6
)
16 %
= 5
≈
und p
=
1
6
.
0, 1608 = 16, 08 %
erhält man bei fünfmaligem WErfen eines Würfels die