Übungsblatt 1

Grundzüge der Statistik B
SS 2012
Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
Übungsblatt 1
Aufgabe 1 :
Bei vielen Brettspielen, wie beispielsweise Monopoly, wird mit zwei (fairen) Würfeln gewürfelt,
die Augenzahlen werden addiert, und um diese Zahl wird die Spielgur weitergezogen.
1. Bestimmen Sie den statistischen Grundraum für dieses Experiment, der jeden Würfelwurf
einzeln betrachtet und die Reihenfolge der Würfelwürfe berücksichtigt.
2. Schreiben Sie das Ereignis
B :=Es
werden sechs Felder vorgerückt als Teilmenge dieses
Grundraumes.
3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von
B
unter Annahme des Laplace-Modells. Ist die
Annahme gerechtfertigt?
4. Sei
Ai (i = 1, 2, . . . , 6)
Sie zunächst
Ai
das Ereignis, dass der erste Würfel Augenzahl
i
zeigt. Schreiben
als Teilmenge des Grundraums. Schreiben Sie dann den Grundraum als
Zerlegung (d.h. als disjunkte Vereinigung) der Mengen
5. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit
Ai .
P (B|Ai )
für
i = 1, 2, . . . , 6.
Aufgabe 2 :
Eine Gruppe von
stationär,
Ā
60 Drogenabhängigen, die Heroin spritzen, nimmt an einer Therapie teil (A =
= ambulant). Zudem unterziehen sich die Drogenabhängigen freiwillig einem HIV-
Test (B = HIV-positiv,
B̄
= HIV-negativ). Dabei stellen sich 45 der 60 Personen als HIV-negativ
und 15 als HIV-positiv heraus. Von denen, die HIV-positiv sind, sind
Therapie, während von den HIV-negativen nur
40%
80%
in der stationären
in der stationären Therapie sind.
1. Formulieren Sie dei obigen Angaben als Wahrscheinlichkeiten.
2. Sie wählen zufällig einer der 60 drogenabhängigen Personnen aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese
(a) an der stationären Therapie teilnimmt und HIV-positiv ist,
(b) an der stationären Therapie teilnimmt und HIV-negativ ist,
(c) an der stationären Therapie teilnimmt.
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Grundzüge der Statistik B
3. Berechnen Sie
SS 2012
P (B|A),
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und fassen Sie das zugehörige Ereignis in Worte.
Aufgabe 3 :
Eine englische Lady behauptet bei einer Tasse Tee mit Milch entscheiden zu können, ob zuerst
Milch oder zuerst Tee in die Tasse gegeben wurde. Um ihre Behauptung zu testen, werden ihr 10
unterschiedlich zubereitete Tassen Tee mit Milch vorgesetzt, die sie nacheinander probiert. Sie
soll
mindestens 8 Tassen richtig klassizieren.
1. Wieviele mögliche Variationen von richtigen/falschen Antworten gibt es insgesamt?
2. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lady den Test besteht, wenn sie jeweils nur
zufällig rät?
Aufgabe 4 :
Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments seien alle natürlichen Zahlen
Für
A = {2, 5, 7}
und
B = {1, 2, 3, 8}
sei nun bekannt, dass
0, 1, 2, 3, . . ..
P [A] = 0.4, P [B] = 0.55
und
P [A ∪ B] = 0.85.
1. Wie groÿ ist
P [C]
2. Weiterhin sei
tärmenge
D̄
für
C = {5, 7}?
D = {2, 3, 5, 7}.
folgendes gilt:
Zeigen Sie, dass für die Wahrscheinlichkeit der Komplemen-
0.15 ≤ P [D̄] ≤ 0.6.
Aufgabe 5 :
Zeigen Sie mithilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit, dass folgendes gilt: Sind
B
stochastisch unabhängig, dann sind auch
Ā
und
2
B
stochastisch unabhängig.
A
und