Übungsblatt 4

Grundzüge der Statistik B / Statistik II
SS 2010
Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
Übungsblatt 4
Aufgabe 1 :
Sei X eine diskrete, um null symmetrische Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass dann E(X) = 0
gilt. Verallgemeinern Sie diese Aussage auf Zufallsvariablen, die um einen Punkt c symmetrisch
sind.
Aufgabe 2 :
Sei X ∼ B(n, p) eine binomialverteilte Zufallsvariable.
1. Für welchen Wert von p hat die Zufallsvariable X bei festem n maximale Varianz?
2. Nehmen Sie an, dass X nur die Werte {0, 1, 2} mit der von dem Parameter θ abhängigen
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x|θ) = P (X = x|θ) annimmt, wobei θ ∈ [0, 1] und
P (X = 0|θ) = 0.36
P (X = 1|θ) = 0.64 · θ
Für welchen Wert von θ ist X tatsächlich binomialverteilt?
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit P [X = 2|θ], wenn θ = 0.5 gilt?
Aufgabe 3 :
Eine Operation verläuft durchschnittlich in 9 von 10 Fällen erfolgreich. An einem Tag werden
unabhängig voneinander 10 solcher Operationen durchgeführt. Berechnen Sie (auf 4 Nachkommastellen) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
1. genau eine Operation misslingt.
2. höchstens eine Operation misslingt.
3. mindestens zwei Operationen misslingen.
4. mehr als eine Operation misslingt.
5. mindestens eine und weniger als vier misslingen.
Hinweis: Denieren Sie zuerst eine geeignete Zufallsvariable und geben Sie deren Verteilung an.
Aufgabe 4 :
Eine Schachtel enthält 10 Glühbirnen, von denen 3 defekt sind. Eine Glühbirne wird zufällig
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Grundzüge der Statistik B / Statistik II
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entnommen und geprüft. Wenn sie defekt ist, wird sie weggeworfen und die nächste zufällig ausgewählt. Dieses Verfahren wird solange fortgesetzt, bis eine funktionierende Glühbirne gefunden
wird.
1. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X , die die Anzahl der
Glühbirnen beschreibt, die geprüft werden, bis eine funktionierende gefunden wird. (4 Nachkommastellen.)
2. In der Glühbirnenfabrik sind im Schnitt 30% der produzierten Glühbirnen defekt. Der laufenden Produktion werden zufällig Glühbirnen entnommen. Wie im ersten Teil der Aufgabe
beschrieben, werden diese geprüft, bis eine intakte gefunden wird.
Mit welcher Verteilung kann man nun näherungsweise die Anzahl der benötigten Versuche
modellieren? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz.
Aufgabe 5 :
Bei dem Würfelspiel Die böse Drei beträgt der Einsatz 3 Euro. Dann werden zwei faire
Würfel geworfen. Fällt keine 3 , erhält die Spielerin die Augensumme in Euro ausbezahlt. Fällt
mindestens einmal die 3 , so muss sie zu dem Einsatz noch die Augensumme in Euro bezahlen.
Sei X die Zufallsvariable, die den Gewinn (=Auszahlung bzw. Zuzahlung abzüglich Einsatz)
beschreibt.
1. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit zu verlieren (P [X < 0])?
2. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, einen echten Gewinn zu erzielen (P [X > 0])?
3. Bestimmen Sie E(X). Ist das Spiel fair? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 6 :
Aus Erfahrung weiÿ man, dass mit der Wahrscheinlichkeit von 0, 7788 bei einer Maschine,
während einer Betriebsdauer von 12 Stunden, kein Fehler auftritt. X sei die Zufallsvariable, die
die Anzahl der Fehler während einer 12-stündigen Betriebsdauer zählt.
1. Welche Verteilung eignet sich zur näherungsweisen Beschreibung der Zufallsvariablen X .
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während 12 Stunden mindestens 2 Fehler
auftreten.
3. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in 36 Stunden genau ein Defekt auftritt?
4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Wartezeit auf den ersten Defekt mehr als 6
Stunden?
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